Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

==Degenerasjon og tilstandstetthet==

En partikkel har vanligvis mange forskjellige bevegelsestilstander som har samme energi. For eksempel vil en partikkel med [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisert spinn]] ''s'', innta i alt 2''s'' + 1 forskjellige retninger i rommet. Hvis dens mulige energier ''E&thinsp;'' er uavhengige av dette spinnet, vil derfor hvert energinivå inneholde et slikt antall mikrotilstander. Det sies derfor å ha en «degenerasjon» ''g''(''E'') =  2''s'' + 1. Også andre forhold  som har å gjøre med symmetrier i systemet, kan bidra til denne.<ref name = Griffiths/>

På lignende vis vil en partikkel i klassisk mekanikk kunne ha en lignende degenerasjon. For eksempel varierer den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] med kvadratet av hastigheten til partikkelen. Da den er uavhengig av retningen til hastigheten, vil den i utgangspunktet  synes å ha et uendelig stort antall mikrotilstander. Men dette problemet blir løst av kvantemekanikken. På samme måte som for den harmoniske oscillatoren, er det ikke mulig å angi presise verdier for posisjonen '''r''' = {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} eller [[Bevegelsesmengde|impulsen]] '''p''' = {{nowrap|(''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'')}} til en partikkel. De kan kun angis innen et infinitesemalt volumelement i det kombinerte rom-impulsrommet  som  da vil inneholde  i alt  ''d''<sup>&thinsp;3</sup>''r''&thinsp;''d''<sup>&thinsp;3</sup>''p''&thinsp;/''h''<sup>&thinsp;3</sup> mulige kvantetillstander. På dette viset kan man beregne en «tilstandstetthet» ''g''(''E'')  slik at antall mikrotilstander mellom ''E&thinsp;'' og ''E'' + ''dE&thinsp;'' kan skrives som ''g''(''E'')''dE''.

Antall partikler som finnes med energier mellom ''E&thinsp;'' og ''E'' + ''dE&thinsp;'' vil nå kunne skrives på samme vis som ''n''(''E'')''dE''.  Det må være lik med sannsynligheten ''p''(''E'') for å finne partikkelen i én mikrotilstand med energi ''E&thinsp;'' multiplisert med antall mikrotilstander med denne energien og det totale antall partikler ''N&thinsp;'' i systemet. På denne måten har man 

: <math> {n(E)\over N} = {g(E)\over Z}e^{-\beta E} </math>

hvor nå partisjonsfunksjonen er gitt ved integralet 

: <math> Z = \int_0^\infty\! dE\ g(E) e^{-\beta E} </math>

På samme vis beregnes middelverdien av energien til én partikkel fra

: <math> \langle E \rangle = {1\over Z}  \int_0^\infty\! dE \ g(E)E \ e^{-\beta E} </math>

slik at den midlere totalenergien <math> U = N  \langle E \rangle </math> er systemets [[indre energi]].<ref name = Lay> J.E. Lay, ''Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter'', Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.</ref>