Redigerer
Bohr-Sommerfeld-kvantisering
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
===Rotasjon i rommet=== Hvis rotatoren kan innta alle mulige retninger i rommet, er dens energi gitt ved [[kulekoordinater|kulekoordinatene]] (''θ, φ''). De konjugerte impulsene blir dermed <math> p_\theta = \partial E/\partial\dot\theta = I\dot\theta </math> og <math> p_\phi = \partial E/\partial\dot\phi = I\sin^2\theta\dot\phi. </math> Uttrykket for energien kan da skrives som : <math> E = {1\over 2I} \Big(p_\theta^2 + {p_\phi^2\over\sin^2\theta}\Big) </math> Denne kan nå kvantiseres ved de to Bohr-Sommerfeld-betingelsene : <math> \oint\! p_\phi d\phi = n_\phi h, \;\;\; \oint\! p_\theta d\theta = n_\theta h</math> Da energien er uavhengig av den asimutale vinkelen ''φ'', er impulskomponenten ''p<sub>φ</sub> '' konstant og har derfor de tillatte verdiene {{nowrap|''p<sub>φ</sub>'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>ħ ''}} for heltallige kvantetall ''n<sub>φ</sub>''. Den andre impulskomponenten ''p<sub>θ</sub> '' er ikke konstant, men varierer med vinkelen ''θ''. For en bestemt energi er den gitt ved : <math> p_\theta = \pm\sqrt{2EI}\sqrt{1 - p_\phi^2/2EI\sin^2\theta} </math> hvor fortegnet er positivt halvparten av den periodiske banen og negativt ellers. Argumentet i [[kvadratrot]]en må være positivt slik at den meridonale vinkelen ''θ'' må oppfylle kravet {{nowrap|sin''θ'' > ''p<sub>φ</sub>''/√(2''EI'')}}. Den varierer derfor mellom en minimumsverdi ''θ<sub>min</sub> '' og en maksimalverdi ''θ<sub>max</sub>''. Kvantebetingelsen for denne variable tar dermed formen : <math> 2\sqrt{2EI}\int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta\sqrt{1 - p_\phi^2/2EI\sin^2\theta} = 2\pi\sqrt{2EI}\Big(1 - {p_\phi\over\sqrt{2EI}}\Big) = n_\theta h </math> som gir de kvantiserte energiene : <math> E_n = {\hbar^2\over 2I} (n_\phi + n_\theta)^2 </math> Ved å sammenligne med resultatet som ble funnet når rotatoren befant seg i ''xy''-planet, må man betrakte summen ''n'' = ''n<sub>φ</sub>'' + ''n<sub>θ</sub> '' som hovedkvantetallet som karakteriserer den totale dreieimpulsen ''p<sub>ψ</sub>''. I dette mer generelle tilfellet er derfor impulsen ''p<sub>φ</sub> '' komponenten av denne på ''z''-aksen. Betrakter man den totale dreieimpulsen som en [[vektor (matematikk)|vektor]], danner den i alminnelighet en vinkel ''β '' med ''z''-aksen gitt ved : <math> \cos\alpha = {p_\phi\over p_\psi} = {n_\phi\over n_\phi + n_\theta} </math> Man kommer derfor til det overraskende resultatet at dreieimpulsen kan bare innta noen bestemte, diskrete retninger i rommet gitt ved denne [[brøk]]en. Dette ble kalt for «romkvantisering».<ref name = Sommerfeld> A. Sommerfeld, ''Atombau und Spektrallinien'', Fried. Wieweg & Sohn, Braunschweig (1919).</ref> Det var vanskelig å fatte da ''z''-aksen i denne betraktningen er ganske vilkårlig og kan velges i hvilken som helst retning. Men hvis rotatoren hadde befunnet seg i et ytre [[magnetfelt]], ville dette ha definert en spesiell akse. Som i [[Zeeman-effekt]]en ville hvert energinivå da splittes opp og angis ved kvantetallet ''n<sub>φ</sub> ''. Dette asimutale kvantetallet omtales derfor ofte som det '''magnetiske kvantetallet'''. Ved bruk av moderne [[kvantemekanikk]] finner man at energien til rotatoren øker med hovedkvantetallet som ''n''(''n'' + 1) og er derfor i overensstemmelse med det halvklassiske resultatet ''n''<sup> 2</sup>  utledet her fra Bohr-Sommerfeld-kvantisering når kvantetallet blir tilstrekkelig stort. Man finner da også en romkvantisering av retningen til den totale dreieimpulsen. Men dette skaper nå ikke noen problem fordi en tilstand av rotatoren kvantisert i en bestemt retning, kan skrives som en [[superposisjon]] av tilstander hvor den er kvantisert i en vilkårlig annen retning.<ref name = BJ/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon