Redigerer Bølgepakke (avsnitt)

==Tre dimensjoner==

For bølger i tre dimensjoner erstattes bølgetallet ''k'' med bølgevektoren '''k''' = (''k<sub>x</sub>,k<sub>y</sub>,k<sub>z</sub>''). Bølgefunksjonen ''ψ''('''x''',''t'')&thinsp; vil oppfylle en mer komplisert [[bølgeligning]] som vil ha løsninger som generelt kan skrives som tredimensjonale Fourier-integral

: <math> \psi(\mathbf{x},t) = \int{d^3k\over (2\pi)^3} a(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega(\mathbf{k})t)} </math>

hvor nå vinkelfrekvensen ''ω''('''k''')&thinsp; er en funksjon av bølgevektoren som kan finnes fra bølgeligningen. Fourier-amplituden ''a''('''k''')&thinsp; kan beregnes fra bølgefunksjonen ved tiden ''t'' = 0,

: <math> a(\mathbf{k}) = \int d^3x\psi(\mathbf{x},0) e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} </math>

Er denne amplituden dominert av bølgevektorer rundt en verdi '''k'''<sub>0</sub>, kan man approksimere vinkelfrekvensen med uttrykket

:<math> \omega(\mathbf{k}) = \omega_0 + \mathbf{v}\cdot(\mathbf{k} - \mathbf{k}_0) </math>

hvor ''ω''<sub>0</sub> =  ''ω''('''k'''<sub>0</sub>)&thinsp; og gruppehastigheten i dette mer generelle tilfellet kan skrives som

:<math> \mathbf{v} = \left.\frac{\partial \omega(\mathbf{k})}{\partial\mathbf{k}}\right|_{\mathbf{k} = \mathbf{k}_0} =  \left.\boldsymbol{\nabla}_\mathbf{k}\omega\right|_{\mathbf{k} = \mathbf{k}_0} </math>

En bølgepakke i tre dimensjoner har da en bølgefunksjon på formen

:<math> \psi(\mathbf{x},t)= e^{i(\mathbf{k}_0\cdot\mathbf{x} - \omega_0 t)}\int {d^3k\over (2\pi)^3} \, a(\mathbf{k}) e^{i(\mathbf{k} - \mathbf{k}_0)\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{v}t)} </math>

hvor integralet viser at bølgepakken beveger seg med gruppehastigheten '''v'''. For en ikke-dispersiv bølgeligning blir den lik med fasehastigheten, det vil si {{nowrap|''v'' {{=}} ''ω<sub>0</sub>/k''<sub>0</sub>&thinsp;}} i retning '''k'''<sub>0</sub>.