Redigerer Ampères kraftlov (avsnitt)

===Grassmanns modifikasjon===

I 1845 lanserte den tyske matematik [[Hermann Grassmann]] en enklere formulering av den magnetiske kraften mellom to strømelement.<ref name = Grassmann>H. Grassmann, [https://books.google.de/books?id=lGFDAQAAMAAJ&pg=PA1&lpg=PA1&dq=hermann+grassmann+neue+theorie+der+elektrodynamik&source=bl&ots=2OXy_D_t6X&sig=mqYm2xte6RlwJ33-UKirHHWokzg&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjin8Wph8HZAhXOzqQKHTJ7BY8Q6AEISDAG#v=onepage&q=hermann%20grassmann%20neue%20theorie%20der%20elektrodynamik&f=false ''Neue Theorie der Elektrodynamik''], Annalen der Physik und Chemie '''64''' (1), 1-18 (1845).</ref> Her på pekte han at Ampères lov ga null kraft når disse er parallelle slik at vinkelen ''&epsilon;'' = 0 og danner vinkelen ''&theta;'' med forbindelseslinjen slik at {{nowrap|2 - 3&thinsp;cos<sup>2</sup>''&theta;'' {{=}} 0}}. Denne kritiske vinkelen har derfor en verdi bestemt ved {{nowrap|cos<sup>2</sup>''&theta;'' {{=}} 2/3}} som tilsvarer at {{nowrap|cos&thinsp;2''&theta;'' {{=}} 1/3}}. Det betyr at ''&theta;'' = 35&deg;. Har vinkelen mellom strømelementene en verdi mindre enn denne, ville de frastøte hverandre og omvendt for større vinkler.<ref name = Assis/> Grassmann mente at en fundamental naturkraft ikke kunne ha en slik egenskap.

På denne tiden hadde han utviklet en ny geometrisk algebra som i våre dager vanligvis omtales som [[ytre algebra]]. Her inngikk et antisymmetrisk vektorprodukt som senere viste seg å tilsvare det vektorielle [[kryssprodukt]]et. Ved bruk av dette kunne han skrive sin alternative kraftlov ved bruk av moderne vektornotasjon som

: <math> d^2\mathbf{F}_1 = k_m {I_1I_2\over r^2} d\mathbf{s}_1\times (d\mathbf{s}_2 \times \hat\mathbf{r}) = -  k_m {I_1I_2\over r^2}[(d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2)\hat\mathbf{r}  - (\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)d\mathbf{s}_2] </math>

Denne  magnetiske kraften virker alltid vinkelrett på strømelementet. I tillegg gir den ingen vekselvirkning  mellom to kollineære strømelement. Og det var det Ampère opprinnelig hadde forventet fra sin egen formulering.

Men kraften er ikke lenger antisymmetrisk i de to strømelementene slik at Newtons tredje lov derfor ikke er oppfylt. Dette synes ikke å ha vært noe problem for Grassmann. Derimot var det viktigere for han at når man integrerte all bidragene som virket på det første strømelementet, så ga uttrykket hans det samme resultatet som formelen til Ampère. 
Matematisk henger det sammen med at

: <math> \oint_{C_2} {3\over r^2 }(\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)(\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_2) \hat\mathbf{r} =  \oint_{C_2}{1\over r^2}[(d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2) \hat\mathbf{r}  + (\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)d\mathbf{s}_2]</math>

som igjen skyldes at et eksakt differensial ikke bidrar under en lukket sløyfeintegrasjon.
Og da det er denne integrerte kraften som tilsvarer hva man kan observere laboratoriet, ville det ikke være mulig å skille mellom disse to formuleringene ved direkte målinger.

I Grassmanns formulering kan man benytte  [[Biot-Savarts lov]] og innføre det magnetiske feltet

: <math> d\mathbf{B}(\mathbf{r}_1) = k_m I_2 {d\mathbf{s}_2 \times \hat\mathbf{r}\over r^2} </math>

som det andre strømelementet ''I''<sub>2</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub> skaper i posisjon '''r'''<sub>1</sub> til det første elementet. Ved bruk av samme notasjon blir dette derfor utsatt for en tilsvarende kraft som lar seg skrive som
{{nowrap|''d''<sup>&thinsp;2</sup>'''F'''<sub>1</sub>('''r'''<sub>1</sub>)  {{=}} ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub>&thinsp;&times;&thinsp;''d''&thinsp;'''B'''('''r'''<sub>1</sub>)}}. Ved integrasjon over den andre strømsløyfen ''C''<sub>2</sub>, kan dermed totalkraften som virker på strømelementet ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub> skrives som

: <math> d\mathbf{F}_1 = I_1 d\mathbf{s}_1\times \mathbf{B} </math>

hvor nå '''B''' er det total magnetfeltet som den andre strømsløyfen skaper i posisjonen til det første elementet. Dette resultatet vil nå også følge fra Ampères opprinnelige formulering. Han hadde tidligere funnet uttrykket uten å ville se noe fysisk innhold av det som her er det magnetiske feltet. Denne størrelsen omtalte han derimot som en ''direktrise'' som kunne tilordnes enhver strømsløyfe og hadde visse interessante, matematiske egenskaper.<ref name = Tricker/>