Redigerer Riemannsk sfære (avsnitt)

== Kompleks struktur ==
Strukturen til det [[komplekst mangfold|komplekse mangfold]] på den riemannske sfære gis ved et [[atlas (topologi)|atlas]] med to kart som følger

:<math>f:\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{\infty\} \to \mathbb{C},\ f(z)=z</math>

:<math>g:\widehat{\mathbb{C}}\setminus\{0\} \to \mathbb{C},\ g(z)=\frac{1}{z}\mbox{ and }g(\infty) = 0.</math>

Kartene overlapper i alle punkter bortsett fra 0 og &infin;. I overlappende områder gis overgangsfunksjonen av  ''z'' → 1/''z'', som er [[holomorf]] og derfor definerer et komplekst område.

Den riemannske sfære har den samme topologien som ''S''<sup>2</sup>, dvs, sfæren med radius 1 sentrert rundt origo i det [[euklidske rom]] '''R'''<sup>3</sup>. En [[homeomorfisme]] mellom dem er gitt ved den [[stereografiske projeksjon]] tangenten til sydpolen ned på det komplekse planet. Hvis vi betegner punktene på ''S''<sup>2</sup> med (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) der <math>x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1</math>, er homeomorfismen

:<math>(x_1, x_2, x_3)\to \frac{x_1-i x_2}{1-x_3}.</math>

Dette avbilder sydpolen til origo i det komplekse planet og nordpolen til &infin;.

Uttrykt i standard [[sfæriske koordinater]] (&theta;, &phi;), kan denne avbildningen skrives som
:<math>(\theta, \phi)\to e^{-i\phi}\cot\frac{\theta}{2}.</math>

En kan også bruke den stereografiske projeksjon tangenten til nordpolen, som avbilder nordpolen til origo og sydpolen til &infin;. Formelen er

:<math>(x_1, x_2, x_3) \to \frac{x_1+i x_2}{1+x_3}</math>
eller, i sfæriske koordinater
:<math>(\theta, \phi)\to e^{i\phi}\tan\frac{\theta}{2}.</math>