Redigerer Pytagoreisk trippel (avsnitt)

== Rasjonale punkt på en enhetssirkel ==

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

:<math>\left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c} \right )^2 = 1 </math>

Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på [[enhetssirkel]]en ''x''<sup>&thinsp;2</sup> + ''y''<sup>&thinsp;2</sup> = 1, der koordinatene er gitt ved to [[rasjonalt tall|rasjonale tall]].<ref name=AH21>[[#AH| A. Holme: ''Matematikkens historie'']] (Bind 1) s.21ff </ref>

Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med en [[linje|rett linje]] ''y'' = ''t''&thinsp;(''x'' + 1) gjennom punktet (-1,0) og med et [[stigningstall]] ''t'' som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermed ''x''-koordinaten til skjæringspunktet fra

: <math> (x+1)\left[(x-1) + t^2 (x+1)\right] = 0 </math>

Bortsett fra den trivielle løsningen ''x'' = -1, er den andre løsningen

: <math> x = {1 - t^2\over 1 + t^2}\;\;\;  \text{som betyr at} \;\;  y = {2t\over  1 + t^2} </math>.

Ved å uttrykke det rasjonale tallet ''t'' ved to heltall ''u'' og ''v'' som ''t'' = ''v''/''u'', får man fra denne løsningen (''x,y'') = (''a''/''c'', ''b''/''c'') at 

: <math>\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right) = \left(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2}\right)</math>

som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.<ref name = Stillwell> J. Stillwell, ''Elements of Number Theory'', Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.</ref>