Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

=== Standard koordinatsystem ===
[[Fil:Projektivekoordinater.jpg|thumb|320px|Punkt og linjekoordinater i det projektive planet. Den ideelle linjen er skissert i rødt.]]
For mange praktiske oppgaver er mer hensiktsmessig å plassere bildeplanet parallelt med et av koordinatplanene i '''E'''<sup>3</sup>.  Vanligvis velges det å være parallelt med {{nowrap|''xy''-planet}}, for eksempel gitt ved  {{nowrap|''z'' {{=}} 1.}} Linjen til den ideelle linjen tilsvarer da vektoren {{nowrap|[0,0,1]}} slik at den er beskrevet ved ligningen {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} 0.}} Punkter som har denne tredje koordinaten lik null, er da ideelle og har homogene koordinater av formen (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,0) hvor kun forholdet {{nowrap|''x''<sub>1</sub>/''x''<sub>2</sub>}} teller. I motsatt fall kan de betraktes som endelige punkt i et euklidsk plan. For et slikt punkt {{nowrap|''P'' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>)}} med {{nowrap|''x''<sub>3</sub> &ne; 0}} kan da koordinatene skaleres slik at man får {{nowrap|''P'' {{=}} (''x,y,''1)}} hvor {{nowrap|''x'' {{=}} ''x''<sub>1</sub>/''x''<sub>3</sub>}} og {{nowrap|''y'' {{=}} ''x''<sub>2</sub>/''x''<sub>3</sub>}} blir kartesiske koordinater i den endelige, euklidske delen av det projektive planet.

Som en illustrasjon kan man betrakte den euklidske linjen {{nowrap|''x'' {{=}} 1.}} Med homogene koordinater vil den ta formen {{nowrap|''-x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}} som tilsvarer vektoren {{nowrap|[-1,0,1]}} i linjekoordinater. Likedan vil vektoren {{nowrap|[-1,0,3]}} tilsvare den euklidske linjen {{nowrap|''x'' {{=}} 3.}} Kryssproduktet av disse to vektorene gir det ideelle punktet (0,1,0) som er skjæringspunktet mellom disse to parallelle linjene og ligger i det uendelige fjerne.

På samme måte finner man ved bruk av regnereglene for homogene koordinater at skjæringspunktet for de to parallelle linjene {{nowrap|''ax''<sub>1</sub> + ''bx''<sub>2</sub> + ''cx''<sub>3</sub> {{=}} 0}} og {{nowrap|''ax''<sub>1</sub> + ''bx''<sub>2</sub> + ''c'&thinsp;''x<sub>3</sub> {{=}} 0}} er punktet {{nowrap|(''c' - c'')(''b, -a'', 0)}} som er ekvivalent med {{nowrap|(''b, -a'', 0)}}. Som ventet har det ''x''<sub>3</sub> = 0 og er derfor et ideelt punkt i samme retning som linjene går.

I dette koordinatsystemet er origo punktet (0,0,1) som tilsvarer ''n''<sub>3</sub> = 0 i linjekoordinater. Det som i den endelige delen er ''x''-aksen, tilsvarer linjen {{nowrap|''x''<sub>2</sub> {{=}} 0}} i det fulle, projektive planet. De homogene koordinatene til denne linjen er [0,1,0]. På samme måte tilsvarer ''y''-aksen linjen {{nowrap|''x''<sub>1</sub> {{=}} 0}} gitt ved vektoren [1,0,0]. Den tredje koordinataksen er linjen {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} 0}} i det uendelige gitt ved vektoren   '''n'''<sub>&infin;</sub> = [0,0,1]. Alle ideelle punkt '''x'''<sub>&infin;</sub> = (''x,y'',0) ligger på denne. Som referansetriangel i planet kan nå punktene ''X''<sub>1</sub> = (1,0,0),  ''X''<sub>2</sub> = (0,1,0) og  ''X''<sub>3</sub> = (0,0,1) benyttes. To av disse er nå ideelle, men må behandles på like fot med alle andre punkt.