Redigerer Projektiv geometri (avsnitt)

==Homogene koordinater==

Et punkt i et todimensjonalet plan med  et [[kartesisk koordinatsystem]] kan angis ved to koordinater som (''x,y''). Dette er det [[Euklidsk rom|euklidske planet]] som vanligvis betegnes som  '''E'''<sup>2</sup>. Ligningen for en rett [[linje]] i dette planet er {{nowrap|''ax + by + c {{=}} 0''}} hvor koeffisientene ''a'' og ''b'' angir retningen til linjen, mens ''c'' inneholder informasjon om dens avstand fra [[origo]] til [[kartesisk koordinatsystem|koordinatsystemet]].

[[Julius Plücker|Plücker]] påpekte i [[1830]] at de tre størrelsene [''a,b,c''] kan betraktes som en ny type koordinater for en slik linje. Hvis nå ''λ'' er et eller annet [[reelle tall|reelt tall]], vil ligningen {{nowrap|''λax + λby + λc {{=}} 0''}} gi den samme linjen. Det betyr at linjekoordinatene [''λa,λb,λc''] og  [''a,b,c''] er [[Ekvivalensrelasjon|ekvivalente]] da de beskriver samme linje. Slike koordinater som ikke forandrer geometrisk innhold når de blir multiplisert med en konstant, sies å være '''homogene'''. Retningen til linjen er alltid gitt ved forholdet mellom de to første av disse tre homogene linjekoordinatene.

På samme måte kan man fra de vanlige koordinatene  (''x,y'') for et punkt i planet definere dets homogene koordinater som {{nowrap|(''x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>'')}} slik at {{nowrap|(''λx<sub>1</sub>,λx<sub>2</sub>,λx<sub>3</sub>'')}} tilsvarer samme punkt. Punktets koordinater i '''E'''<sup>2</sup> vil da være gitt som henholdsvis {{nowrap|''x {{=}} x<sub>1</sub>/x<sub>3</sub>''}} og {{nowrap|''y {{=}} x<sub>2</sub>/x<sub>3</sub>''}}. Det betyr at punktene i dette planet kan skrives som (''x,y,1'') ved bruk av slike homogene koordinater.

Ligningen for en vilkårlig linje i denne mer generelle formuleringen blir nå {{nowrap|''ax<sub>1</sub> + bx<sub>2</sub> + cx<sub>3</sub> {{=}} 0''}}. Regner man ut de homogene koordinatene for skjæringspunktet mellom de to parallelle linjene [''a,b,c''] og [''a,b,c'''&nbsp;], finner man at det har {{nowrap|''x<sub>3</sub> {{=}} 0''}}. Akkurat denne verdien betyr derfor at punktet ligger uendelig langt borte. Alle slike ideelle punkt vil ha samme verdi for denne koordinaten. Utvider man derfor det euklidske planet '''E'''<sup>2</sup> til å inkludere disse punktene på lik fot med de endelige punktene, har man et [[projektivt plan]] '''P'''<sup>2</sup> med punkter angitt med homogene koordinater {{nowrap|(''x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>'')}} hvor ''x<sub>3</sub>'' kan ta alle verdier, inkluderte null. Mer generelt kan disse velges slik at de ideelle punktene er gitt ved andre verdier enn {{nowrap|''x<sub>3</sub> {{=}} 0''.}} Slike forandringer av koordinatene vil være en [[projektiv transformasjon]].

I [[projektivt rom|projektive rom]] med flere dimensjoner enn i planet, kan homogene koordinater innføres på helt analogt vis. De gjør det mulig å gjennomføre geometriske bevis med analytiske metoder, ofte for situasjoner som det er vanskelig å mentalt forestille seg i slike abstrakte rom med høyere dimensjoner.