Redigerer Plancks strålingslov (avsnitt)

===Harmonisk oscillator koblet til stråling===

Enklest er det å tenke seg en [[Lorentz-oscillator]] som kun kan svinge i ''x''-retningen. Da er det bare komponenten ''E<sub>x</sub>''&thinsp;cos''&omega;t'' av  det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] til en bølge med frekvens {{nowrap|''&omega; {{=}} 2&pi;&nu;''}} som virker på den. Har den oscillerende partikkelen en masse ''m'', elektrisk ladning ''e'' og svinger med egenfrekvens  ''&omega;<sub>0</sub>'',  vil den da få en bevegelse gitt ved

: <math> {d^2x\over dx^2} + \omega_0^2\,x = {e\over m}E_x\cos\omega t </math>

som følger fra [[Newtons andre lov]]. Frekvensen ''&omega;'' til bølgen antas å være omtrent den samme som egenfrekvensen. På grunn av utstrålingen kommer det på høyresiden av ligningen en ekstra friksjonskraft  som kan skrives som ''&gamma;dx/dt''. Her er konstanten {{nowrap|''&gamma; {{=}} (e<sup>2</sup>/4&pi;&epsilon;<sub>0</sub>)&sdot;(2&omega;<sup>2</sup>/3mc<sup>3</sup>)''}} som kan regnes ut i [[Elektrodynamikk|klassisk elektrodynamikk]] hvor [[Coulombs konstant]] ''1/4&pi;&epsilon;<sub>0</sub>'' inngår. Resonatoren blir drevet av det elektriske feltet og oscillerer som {{nowrap|''x(t) {{=}} A''&thinsp;cos''&omega;t''}} hvor amplituden ''A = A(&omega;)'' nå kan regnes ut. Denne oscillasjonen gir resonatoren energien {{nowrap|''E {{=}} m&omega;<sub>0</sub><sup>2</sup>A<sup>2</sup>/2''}}. Etter å ha brukt at ''&omega; &asymp; &omega;<sub>0</sub>'', kan denne skrives som

: <math> E = {e^2\over 8m} {1\over (\omega - \omega_0)^2 + \Gamma^2}  E_x^2</math>

etter å ha innført {{nowrap|''&Gamma; {{=}} &gamma;/2m''}} som en forenkling av uttrykket. Denne energien har et klart maksimum for {{nowrap|''&omega; {{=}} &omega;<sub>0</sub>''}} som betyr at den resonerer ved denne frekvensen. Men den mottar også strålingsenergi fra nærliggende frekvenser. Fra et lite frekvensintervall ''&Delta;&omega;'' rundt ''&omega;<sub>0</sub>'' kan man finne den totale energien ved å integrere over alle frekvensene ''&omega;''. Skriver man resultatet av dette som {{nowrap|''E(&omega;<sub>0</sub>)&Delta;&omega;''}}, har man derved

: <math> E(\omega_0)\Delta\omega = {\pi e^2\over 8m\Gamma} E_x^2  = {3\pi^2 c^3\over 2\omega_0^2}\varepsilon_0 E_x^2  </math>

hvor ''E(&omega;<sub>0</sub>)'' er den midlere energien til resonatoren når den befinner seg i termisk likevekt med den sorte strålingen. Denne har en energitetthet {{nowrap|''u<sub>&omega;</sub>&thinsp;&Delta;&omega;'' {{=}} ''u<sub>&nu;</sub>&thinsp;&Delta;&nu;''}} som er tre ganger ''&epsilon;<sub>0</sub>E<sub>x</sub><sup>2</sup>/2'' da bidragene fra de to andre, elektriske komponentene er like store for isotropisk stråling. Her er ''u<sub>&omega;</sub>'' er den spektrale energitettheten med hensyn på frekvensen {{nowrap|''&omega; {{=}} 2&pi;&nu;''}}. Skriver man heretter ''&omega;'' for ''&omega;<sub>0</sub>'' og benytter sammenhengen {{nowrap|''u<sub>&nu;</sub> {{=}} 2&pi;&thinsp;u<sub>&omega;</sub>''}}, følger det at

: <math>  u_\nu(T) = {8\pi\nu^2\over c^3} E(\nu,T)  </math>

hvor det er gjort tydelig at dette gjelder ved en bestemt temperatur. Dette er den fundamentale relasjonen Planck utledet i [[1899]] mellom strålingtettheten og den midlere energien til en harmonisk oscillator i veggen som den sorte strålingen er i likevekt med. Det er bemerkelsesverdig at detaljerte egenskaper som ladning og masse til denne resonatoren, ikke inngår i resultatet. Problemet med å forstå strålingens egenskaper var dermed blitt overført til å finne midlere energi for en oscillator i termisk likevekt. Det virket enklere og burde kunne løses ved bruk av [[statistisk fysikk]].