Redigerer Plücker-koordinater (avsnitt)

===Klein-kvadrikken===

På samme måte må man for en og samme linje ha at '''P'''&thinsp;&and;&thinsp;'''P''' = ('''X'''&thinsp;&and;&thinsp;'''Y''')&and;('''X'''&thinsp;&and;&thinsp;'''Y''') = - '''Y'''&thinsp;&and;&thinsp;'''X'''&thinsp;&and;&thinsp;'''X'''&thinsp;&and;&thinsp;'''Y''' = 0. Ved å sette '''P''' = '''P'''' i resultatet for {{nowrap|'''P'''&thinsp;&and;&thinsp;'''P'&thinsp;'''}} må Plücker-koordiantene oppfylle 

: <math>  P_{23}P_{41} + P_{31}P_{42} + P_{12}P_{43} = 0 </math>

Denne ekstra betingelsen er ekvivalent med {{nowrap|'''d'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''m''' {{=}} 0}} i det euklidske rommet '''E'''<sup>3</sup>. Når man derfor betrakter de seks komponentene til Plücker-matrisen '''P''' som homogene koordinater for et punkt i det femdimensjonale rommet '''PR'''<sup>5</sup>, vil bare de punktene som oppfyller denne ekstra betingelsen tilsvare en linje i det tredimensjonale rommet. De tillatte punktene danner derfor et firedimensjonalt underrom. Da det er gitt ved en [[andregradsflate|kvadratisk ligning]] som koordinatene må oppfylle, kalles det vanligvis for ''Klein-kvadrikken'' etter [[Felix Klein]].<ref name = Todd> J.A. Todd, [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$b528426&view=1up&seq=7 ''Projective and Analytical Geometry''], Pitman Publishing Corporation, New York (1965). ISBN 0-2734-2652-4.</ref>

Man kan få et bedre bilde av denne firedimensjonale kvadrikken ved å benytte et nye koordinater som ble innført av Klein.<ref name = Baralic> D. Baralic,  [http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/27/tm1428.pdf  ''How to understand Grassmannians?''], The Teaching of Mathematics, '''14'''(2), 147–157 (2011).</ref>  Da Plücker-koordinatene er antisymmetriske, kan man skrive
{{nowrap|''P''<sub>23</sub> {{=}} ''p'' + ''q''}}, {{nowrap|''P''<sub>41</sub> {{=}} ''p'' - ''q''}},  {{nowrap|''P''<sub>31</sub> {{=}} ''s'' + ''t''}}, {{nowrap|''P''<sub>42</sub> {{=}} ''s'' -  ''t''}},
{{nowrap|''P''<sub>12</sub> {{=}} ''u'' + ''v''}} og {{nowrap|''P''<sub>43</sub> {{=}} ''u'' - ''v''}}. Plücker-betingelsen tar da formen

: <math> p^2 + s^2 + u^2 = q^2 + t^2 + v^2 </math> 

som er ligningen for Klein-kvadrikken i '''PR'''<sup>5</sup>. Den kan derfor oppfattes som definert ved  de to ligningene {{nowrap|''p''<sup>&thinsp;2</sup>  + ''s''<sup>&thinsp;2</sup> + ''u''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''R''<sup>&thinsp;2</sup>}} og {{nowrap|''q''<sup>&thinsp;2</sup>  + ''t''<sup>&thinsp;2</sup> + ''v''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} ''R''<sup>&thinsp;2</sup>}} der ''R&thinsp;'' er en parameter. Da hver av disse beskriver en todimensjonal kuleflate S<sup>2</sup>, kan man tenke seg Klein-kvadrikken som den firedimensjonale mangfoldigheten S<sup>2</sup>&times;&thinsp;S<sup>2</sup>. Det må forstås på lignende måte som at en todimensjonal [[torus]] eller smultring kan [[topologi]]sk betraktes som produktet  S<sup>1</sup>&times;&thinsp;S<sup>1</sup> av to sirkler.<ref name = Todd/>