Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

===Tallmengden '''Q'''<sub>''p''</sub> og heltall '''Z'''<sub>''p''</sub>===

Med denne nye absoluttverdien kan rekken

: <math>\begin{align} x &= \sum_{k = -m}^\infty x_k p^k\\ &= x_{-m}p^{-m} + \cdots x_{-1} p^{-1} + x_0 + x_1p + x_2 p^2  + \cdots \end{align} </math>

hvor <math> 0 \le x_k < p </math>, betraktes som en konvergent Cauchy-følge da de stadig nye leddene som kommer inn, blir mindre og mindre. Rekken definerer dermed et ''p''-adisk tall med størrelse |''x''&thinsp;|<sub>''p''</sub> = ''p<sup>m</sup>''. Det kan skrives mer kompakt som  (...''x''<sub>2</sub>''x''<sub>1</sub>''x''<sub>0</sub>.''x''<sub>-1</sub>... ''x<sub>-m</sub>'')<sub>''p''</sub>.  Hele tallkroppen '''Q'''<sub>''p''</sub>  består av slike tall hvor ''m'' > 0 har forskjellige verdier. 

Når ''m'' = 0 er absoluttverdien <math> |x|_p \le 1 </math>. Denne undermengden til '''Q'''<sub>''p''</sub> sies å innholde ''p''-adiske ''heltall'' og danner en ring '''Z'''<sub>''p''</sub>. De er gitt ved den uendelige rekken

: <math> x = \sum_{k=0}^\infty x_k p^k =  x_0 + x_1p + x_2p^2 + \cdots  </math>

og kan skrives som (...''x''<sub>2</sub>''x''<sub>1</sub>''x''<sub>0</sub>). Så lenge ''x''<sub>0</sub> &ne; 0, er disse tallene invertible og danner derfor en tallkropp '''Z'''<sub>''p''</sub><sup>&times;</sup>. Hvis derimot ''x''<sub>0</sub> = 0, vil |''x''&thinsp;|<sub>''p''</sub> = 1/''p''&thinsp; < 1 når ''x''<sub>1</sub> &ne; 0. Men man kan da skrive ''x'' = ''p&sdot;y'' hvor heltallet ''y'' er invertibelt såfremt  koeffisienten ''y''<sub>0</sub> &ne; 0.