Redigerer Magnet (avsnitt)

==Magnetiske felt==

Utenfor en magnet finnes det et [[magnetisk felt|magnetisk induksjonsfelt]] '''B''' som kan beregnes ved å anta at den er beskrevet ved et magnetisk dipolmoment '''m'''. Som for en [[elektrisk felt#Dipolfeltet|elektrisk dipol]] plassert  origo kan det skrives som

: <math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) =  {\mu_0\over 4\pi r^3}\Big[3(\mathbf{m}\cdot\hat\mathbf{r})\hat\mathbf{r} - \mathbf{m}\Big]  </math>

når man benytter enhetsvektoren <math>\hat\mathbf{r}</math> = '''r'''/''r'' som angir retningen til feltpunktet i '''r'''. Ligger magnetens akse langs ''x''-aksen, vil feltet lenger ut på denne aksen peke i samme retning og ha størrelse

: <math> B = {\mu_0 m\over 2\pi x^3} </math>

I et punkt på ''y''-aksen er feltet motsatt rettet og har halvparten av denne verdien for samme avstand til magneten.

Dette resultatet kan man også komme frem til ved å beskrive magneten i Gilberts modell som bestående av to magnetiske ladninger {{nowrap|&plusmn;''q<sub>m</sub>''}} i avstand ''d''. Bruk av Coulombs lov gir da det resulterende feltet fra disse to ladningene som

: <math> B = {\mu_0 q_m\over 4\pi}\Big({1\over x^2} - {1\over (x+d)^2}\Big) </math>

Når ''x'' >> ''d'', kan innholdet av parentesen settes likt 2''d/x<sup>3</sup>&thinsp;'' som da gir det samme resultatet når det magnetiske momentet {{nowrap|''m'' {{=}} ''q<sub>m</sub>&thinsp;d''}}.

===Magnetens indre===
[[Fil:VFPt magnets BH charges+currents.svg|thumb|220px|Ampères modell for '''B''' og Gilberts modell for '''H''' gir samme resultat utenfor magneten, men ulike felt i dens indre.]]
Utenfor magneten er det ikke noen magnetisering '''M''' slik at induksjonsfeltet kan uttrykkes på den vanlig måten '''B''' = ''&mu;''<sub>0</sub>'''H''' ved det [[magnetisk felt|magnetiske feltet]] '''H'''. Men inni magneten vil disse to være ganske forskjellige og i alminnelighet forbundet ved definisjonen<ref name="PS"> G.L. Pollack and D.R. Stump, ''Electromagnetism'', Addison Wesley, San Fransisco (2002). ISBN 0-8053-8567-3.</ref>

: <math> \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) </math>

Mens '''B''' kan beregnes fra de makroskopiske Ampère-strømmene på magnetens sideflater, er feltet '''H''' gitt ved de makroskopiske [[magnetisering|Gilbert-ladningene]] på magnetens endeflater. De tilsvarende [[feltlinje]]ne går ut fra de positive ladningene (N-pol) og ender opp på de negative ladningene (S-pol). Da feltlinjene for '''B'''-feltet alltid er lukkete kurver, betyr det at inni magneten har '''B''' og '''H''' motsatt retning.

Har magneten endelig utstrekning og dens endeflater er plane, kan '''H'''-feltet like utenfor beregnes på samme måte som det elektrisk feltet utenfor en plan [[Elektrisk felt#plan disk|skive]], nå med konstant  magnetisk flateladningstetthet {{nowrap|''&sigma;<sub>m</sub>'' {{=}} ''M''}}. Like utenfor endeflaten står '''H'''-feltet [[vinkelrett|normalt]] på endeflaten med tilnærmet størrelse {{nowrap|''H {{=}} M''/2}}. Er denne magneten lang og tynn (kompassnål), bidrar ikke ladningene fra den motsatte enden og det magnetiske fluksfeltet som passerer endeflaten er derfor med god nøyaktig {{nowrap|''B'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''M''/2}}. Et punkt inni magneten som er langt borte fra begge endeflatene, vil ha {{nowrap|''H'' {{=}} 0&thinsp;}} og derfor {{nowrap|''B'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''M''&thinsp;}} i en slik tilnærmet betraktning. 

I det motsatte tilfellet for en veldig kort magnet som ser ut som en skive med en konstant magnetisering '''M''' langs aksen, vil '''H'''-feltene fra de to endeflatene kansellere utenfor magneten og der gi ''B'' = 0. Inni magneten vil de ha samme retning slik at ''H = - M''. Dette er analogt med det elektriske feltet fra en [[Elektrisk felt#Kondensator|plan kondensator]]. '''B'''-feltet inni magneten er derfor null i denne approksimative beskrivelsen.

===Beregning av indre felt===
I en sylinderformet stavmagnet med lenge ''L'' og radius ''a'' som har en uniform magnetisering ''M''&thinsp; langs aksen, har hver endeflate med areal {{nowrap|''A {{=}} &pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;2</sup>&thinsp;}} en magnetisk ladning {{nowrap|''Q<sub>m</sub>'' {{=}} ''&sigma;<sub>m</sub>&thinsp;A''}} 
da den magnetiske ladningstettheten på hver av dem er {{nowrap|''&sigma;<sub>m</sub>'' {{=}} &plusmn;''M''}}. Størrelsen av '''H'''-feltet på midten av magneten kan da finnes fra Coulombs lov anvendt på disse fiktive ladningene,

: <math> H_{L/2} = 2\cdot {Q_m\over 4\pi (L/2)^2} = 2{a^2\over L^2}M </math>

der faktoren 2 skyldes at begge endeflatene bidrar med like mye. Samme resultat fås ved å benytte beregningen av det elektrisk feltet utenfor en [[Elektrisk felt#plan disk|plan disk]] med radius {{nowrap|''a'' << ''L''}}. Dette '''H'''-feltet er motsatt rettet magnetiseringen '''M''' slik at {{nowrap|'''B''' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>('''H''' + '''M''')&thinsp;}}
har størrelsen

: <math> B(L/2) = \mu_0 M\Big(1 - 2{a^2\over L^2}\Big)  </math>

midt inni magneten.

På samme måte kan også feltet like utenfor en av endeflatene beregnes. Her vil ladningen på platen selv bidra med ''M''/2 til '''H'''-feltet, mens bidraget fra den motsatte endeflaten i avstand ''L'' igjen kan finnes fra Coulombs lov som nå gir

: <math> H_L = {Q_m\over 4\pi L^2} = {a^2\over 4L^2}M </math>
og virker i motsatt retning. Da {{nowrap|'''M''' {{=}} 0}} utenfor magneten, blir derfor fluksfeltet der {{nowrap|''B'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''H''&thinsp;}} eller

: <math> B(L) = {1\over 2}\mu_0 M\Big(1 - {a^2\over 2L^2}\Big) </math>

Dette er også verdien på '''B'''-feltet like innenfor endeflatene.

===Magnetisk hysterese===
[[Fil:Hysteresiskurve.svg|thumb|320px|left|Typisk hysteresekurve for [[ferromagnetisme|ferromagnet]].]]
Virkelige magneter er vanligvis laget av [[ferromagnetisme|ferromagnetisk materiale]]. Dette inneholder små domener hvor magnetiseringen er konstant. Utsettes dette materialet for et ytre magnetfelt '''H''', vil disse rette seg inn i samme retning ved økende feltstyrke. Den makroskopiske magnetiseringen '''M''' vil øke med økende '''H''', men denne forandringen er ikke [[lineær]]. Dette uttrykkes ved fenomenologisk ved en ikke-lineær relasjon ''B'' = ''B''(''H'') som tilsvarer variabel [[permeabilitet]] for magnetmaterialet. Når ''H'' er blitt tilstrekkelig stor, peker magnetiseringen i alle domenene langs dette feltet, og det resulterende fluksfeltet ''B'' sies å ha gått i ''metning''.

Hvis nå det ytre feltet ''H'' reduseres til null, vil fluksfeltet få et litt annet forløp uttrykt ved en modifikasjon av funksjonen {{nowrap|''B''(''H'')}}. Når {{nowrap|''H'' {{=}} 0}}, vil det fremdeles være et fluksfelt {{nowrap|''B<sub>r</sub>'' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>''M<sub>r</sub>&thinsp;''}} i materialet hvor ''M<sub>r</sub>&thinsp;'' er den [[remanens|remanente magnetiseringen]]. For å få den ned til null, må det ytre feltet øke i motsatt retning til verdien ''H<sub>c</sub>'' som angir materialets ''koersivitet''. 
Ved å øke ''H'' ytterligere, går materialet i metning i motsatt retning. Hvis man så reverserer prosessen og øker ''H'' igjen, vil ''B''-feltet få et nytt forløp {{nowrap|''B''(''H'')}} før det igjen går i metning i den opprinnelige retningen. Den fulle variasjonen av de to magnetfeltene er beskrevet ved en lukket «hysteresekurve» i ''BH''&thinsp;-&thinsp;diagrammet.

===Permanent magnetisering===

Hysteresekurvene er karakteristiske for materialet som benyttes i magneten, men uavhengig av hvordan den ser ut. Men den geometriske formen bestemmer hvor stor dens magnetisering blir. Hvis den er lang og tynn (kompassnål), er ''H'' = 0 i dens midte. Dens magnetisering er derfor gitt ved den [[remanens|remanente magnetiseringen]] {{nowrap|''M<sub>r</sub>'' {{=}} ''B<sub>r</sub>&thinsp;''/''&mu;''<sub>0</sub>.}} For en magnetisert kule er derimot de interne feltene relatert ved {{nowrap|''B'' {{=}} -2''&mu;''<sub>0</sub>''H''}}.<ref name = PS/> Dette beskriver en rett linje i  ''BH''&thinsp;-&thinsp;diagrammet med [[stigningstall]] -2. De resulterende verdiene for ''B'' og ''H'' finnes fra dens skjæringspunkt med hysteresekurven. Magnetiseringen følger så fra {{nowrap|''M'' {{=}} ''B''&thinsp;/''&mu;''<sub>0</sub> - ''H''.}}