Redigerer Ligning (matematikk) (avsnitt)

=== Løsningsmetoder ===
Det eksisterer svært mange løsningsmetoder for ligninger, og en komplett løsning vil ofte involvere en rekke forskjellige teknikker. En presis beskrivelse av stegene som skal til for å løse en ligning eller et annet problem kalles en [[algoritme]].

En [[iterasjon (matematikk) | iterativ]] løsningsmetode lager en [[følge]] av løsningsforslag som suksessivt utgjør en bedre og bedre tilnærming til den eksakte løsningen. Hver iterasjon bruker de foregående til å lage en bedre tilnærming, og iterative metoder trenger et første gjett på løsningen for å komme i gang. En [[konvergens|konvergent]] iterativ metode vil etter uendelig mange iterasjoner kunne gi den eksakte løsningen. I noen tilfeller vil iterasjonen bare gi den «best mulig» tilnærmede løsningen, i den mengden der en søker etter løsningen. [[Fikspunkt-iterasjon]] og [[Newtons metode|Newton-Raphsons metode]] er eksempel på iterative metoder.

En løsningsmetode som ikke er iterativ kalles en ''direkte metode''. Direkte metoder kan brukes for å finne både eksakte og tilnærmede løsninger. [[Rayleigh-Ritz]]’ metode er et eksempel på en direkte tilnærmingsmetode.

Et første steg i en løsningsprosess vil ofte forsøke å omforme ligningen til en alternativ eller enklere form der løsningen er kjent, og mange kreative metoder er i bruk. ''Substitusjon'' er en teknikk der en variabel eller en annen del av ligningen blir skiftet ut med en ny variabel, for eksempel vil substitusjonen ''u'' = ''x''<sup>2</sup> overføre den følgende ligningen til en [[andregradsligning]] i ''u'' der løsningen er kjent:

: <math>x^4 + 2x^2 + 5 = 0 \, </math>

''Eliminasjon'' innebærer å gjennomføre operasjoner som fjerner en variabel eller en annen del av et ligningssett. I det følgende eksempelet vil summasjon av ligningene eliminere den ene ukjente ''y'' og gi en enkel ligning å løse for den andre ukjente ''x'':

: <math>\begin{alignat}{2}
2x + 2y &= 4 \\
3x - 2y &=11 \\
\end{alignat}
 </math>.