Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Kvantedynamikk===

En partikkel i det tredimensjonale rommet har en klassisk posisjonsvektor '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) som kvantemekanisk vil beskrives ved tre matriser <math> \hat\mathbf{x} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) </math> som kommuterer med hverandre. Tilsvarende vil impulsen beskrives ved tre kommuterende matriser <math> \hat\mathbf{p} = (\hat{p}_1,\hat{p}_2,\hat{p}_3) .</math>  Derimot kommuterer ikke koordinatvariable med impulsvaiable, men er gitt ved kommutatoren

: <math> [\hat{x}_a, \hat{p}_b] = i\hbar\, \delta_{ab} </math>

hvor [[Kronecker-delta|Kroneckers deltasymbol]] inngår på høyre side. Det er denne fundamentale antagelsen som definerer den nye kvantemekanikken.

Omtrent samtidig med at Born, Heisenberg og Jordan utarbeidet dens konsekvenser, ga [[Paul Dirac]] den et fundament basert på klassisk [[Hamilton-mekanikk]]. I hans formulering ble ikke de dynamiske variable betraktet som matriser, men abstrakte, ikke-kommuterende objekt som han kalte «''q''-tall» eller ''operatorer'' i motsetning til de klassiske, reelle «''c''-tall». De fundamentale kommutatorene er da gitt mellom koordinatene <math> \hat{x}_a </math> og deres [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|kanonisk konjugerte]] impulser <math> \hat{p}_a .</math> En kvantemekanisk kommutator mellom to dynamisk variable <math> \hat{A} = A(\hat\mathbf{x},\hat\mathbf{p}) </math> og <math> \hat{B} = B(\hat\mathbf{x},\hat\mathbf{p}) </math>  skal ha samme form som den klassiske [[Hamilton-mekanikk#Poisson-klammer|Poisson-klammen]] ved at

: <math> [\hat{A},\hat{B}] \rightarrow i\hbar\, [\!A(\mathbf{x},\mathbf{p}), B(\mathbf{x},\mathbf{p})]_{PB}  </math>

hvor høyresiden kan regnes ut på vanlig vis ved derivasjon. Denne sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk er et matematisk uttrykk for [[Bohrs atommodell#Klassisk grense|Bohrs korrespondanseprinsipp]] som Heisenberg benyttet på en ganske annen måte i sitt arbeid.<ref name = Longair/>

Bevegelsen til en partikkel med masse ''m&thinsp;'' som beveger seg i et potensial ''V''('''x''') kan nå finnes ved å ta utgangspunkt i den klassiske [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|Hamilton-funksjonen]]. Kvantemekanisk gir den opphav til [[Hamilton-operator]]en

: <math> \hat{H} =  {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\hat\mathbf{x}) </math>

som bestemmer hvordan partikkelen beveger seg med tiden. Denne dynamiske utviklingen er nå gitt ved operatorligningene

: <math>  i\hbar{d\hat\mathbf{x}\over dt} = [\hat\mathbf{x}, \hat{H}], \;\;  i\hbar{d\hat\mathbf{p}\over dt} = [\hat\mathbf{p}, \hat{H}]   </math>
De har samme form som de klassiske Hamilton-ligningene uttrykt ved Poisson-klammer. En observabel som kommuterer med Hamilton-operatoren, vil forbli konstant under denne dynamiske utviklingen.

Derivasjon av produkt med tidsavhengige observable følger i det enkleste tilfellet fra regelen

: <math> {d\over dt}( \hat{A}\hat{B}) = {d\hat{A}\over dt} \hat{B}  + \hat{A} {d\hat{B}\over dt}</math>

Den inverse av operatören <math> \hat{A} </math> skrives som <math> 1/\hat{A}  =  \hat{A}^{-1} </math>  og er definert ved at <math> \hat{A} \hat{A}^{-1} =  \hat{A}^{-1} \hat{A} = 1. </math>  Ved å derivere begge sidene av denne sammenhengen, finner man at

: <math> {d\over dt}  \hat{A}^{-1}  = -   \hat{A}^{-1} {d\hat{A}\over dt}  \hat{A}^{-1}   </math>

På tilsvarende vis blir  <math>  (\hat{A}\hat{B})^{-1} = \hat{B}^{-1}\hat{A}^{-1}.  </math> Denne reversering av rekkefølgen skjer også ved hermitsik konjugering av slike produkt.

Når potensialet som partikkelen beveger seg i, kun avhenger av avstanden ''r&thinsp;'' til origo, sies det å være  ''sentralsymmetrisk''. Klassisk er denne avstanden gitt ved ''r''<sup>&thinsp;2</sup> = ''x<sub>a</sub>x<sub>a</sub>'' når man summerer over de to like indeksene. Ved å benytte identiteten <math> [\hat{A}, \hat{B} \hat{C}] =  \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{B}] \hat{C}, </math> finner man nå kommutatoren

: <math> [\hat\mathbf{p}, \hat{r}^2] =  \hat{x}_a[\hat\mathbf{p}, \hat{x}_a] + [\hat\mathbf{p}, \hat{x}_a] \hat{x}_a = - 2i\hbar\hat\mathbf{x} </math>

Dette kan videreutvikles til å gi <math>  [\hat\mathbf{p}, \hat{r}^n] = - ni\hbar \hat{r}^{n-2}\hat\mathbf{x}\, </math> som man kan ta som gyldig for alle verdier av ''n'', positive og negative. Generelt har man at

: <math> [\hat\mathbf{p}, V(\hat{r})] = - i\hbar V'(\hat{r}) {\hat\mathbf{x}\over\hat{r}} </math>

hvor impulsoperatoren virker som derivasjonsoperatoren <math>\hat\mathbf{p} = -i\hbar\partial/\partial\hat\mathbf{x}</math> i en kommutator. Denne formelle ekvivalensen kan forenkle mange praktiske beregninger med disse kvantemekaniske variable.<ref name = MIT>M. Born, ''Problems of Atomic Dynamics'', MIT Press, Massachusetts (1970). ISBN 0-262-52019-2. Forelesninger ved [[MIT]] 1925-26.</ref>