Redigerer Hyperbel (avsnitt)

== Standardformer i kartesiske koordinater ==

Det eksisterer flere standardformer for hyperbelen, også kalt kanoniske former.   En kanonisk form er ligning i kartesiske koordinatene <math>(x,y)</math> som framstiller hyperbelen på en enklest mulig måte.  
Et alternativ for en kanonisk form framkommer når <math>x</math>-aksen defineres langs hovedaksen,
<math>y</math>-aksen defineres parallelt med styrelinjen og [[origo]] velges i sentrum av hyperbelen:<ref name=LAW1/>

:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 </math>

Ligningen har to parametre, lengdene <math>a</math> og <math>b</math> av de to ''halvaksene''. For hyperbelen er det ikke et krav at <math>a \ge b</math>.  Kurven har reelle verdier bare når
<math>|x| \ge a</math>.  

En korde gjennom sentrum, mellom to punkt på hver sin hyperbelgren, kalles en ''diameter'' i hyperbelen.  Diameteren mellom de to toppunktene kalles den ''reelle'' aksen og har lengden <math>2a</math>.<ref name=GULD1/>
Den ''imaginære'' aksen står normalt på denne og har lengden <math>2b</math>.  Dette er også lengden av en korde mellom asymptotene, normalt på hovedaksen og gjennom toppunktet på en hyperbelgren.  
Asymptotene har ligningene

:<math>a x \pm by = 0</math>

Brennpunktene ligger i en avstand <math>ae</math> og styrelinjene i avstanden <math>a/e</math> fra origo.  Eksentrisiteten er gitt fra
ligningskoeffisientene ved

:<math>e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}</math>.

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:<ref name=LAW1/>

: <math> {(x - \frac{a}{e})^2\over a^2} - {y^2\over b^2} = 1 </math>

En hyperbel der <math>a = b</math> kalles ''likesidet'', ''ekvilateral'' eller ''rektangulær'', og for en slik hyperbel brukes også en tredje kanonisk form:<ref name=LAW1/>

: <math> xy = k^2 </math>