Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

==Relativistisk bevegelse==

I [[Bohrs atommodell]] antar man at elektronet beveger seg ikke-relativistisk, det vil si har en hastighet ''v'' mye mindre enn [[lyshastighet]]en ''c''.  Hastigheten er størst i de innerste banene for å stå imot Coulomb-kraften. Den sirkulære banen med hovedkvantetall ''n'' = 1, har radius {{nowrap|''r'' {{=}} ''a''<sub>0</sub>/''Z''&thinsp;}} samtidig som den har en kvantisert dreieimpuls {{nowrap|''p<sub>&phi;</sub> {{=}} m<sub>e</sub>vr''}} = ''ħ''. Hastigheten i denne banen er dermed gitt som {{nowrap|''v''/''c'' {{=}} ''&alpha;Z''.}}

Da størrelsen av [[finstrukturkonstant]]en tilnærmet er ''&alpha;'' = 1/137, vil hastigheten til elektronet rundt en tung kjerne ''Z'' >> 1 nærme seg lyshastigheten. Man må derfor benytte [[spesiell relativitetsteori]] for å beskrive elektronets bevegelse. 

Når bevegelsen foregår i en sirkel med konstant hastighet, er den relativistiske beskrivelsen spesielt enkel.<ref name = BM/>  De tidligere bevegelsesligningene tar en ny form hvor elektronets masse ''m<sub>e</sub>&thinsp;'' erstattes med ''m<sub>e</sub>&thinsp;''/&radic;(1 - ''v''<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup>). Derfor vil [[Newtons lover|Newtons andre lov]] som forbinder [[sentripetalakselerasjon]]en med Coulomb-kraften, forandres til

: <math> {m_e\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} {v^2\over r} = {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}, </math>

mens uttrykket for den kvantiserte dreieimpulsen blir 

: <math> {m_e vr\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} = n\hbar . </math>

Sammen gir disse to ligningene ''v''/''c'' = ''&alpha;Z''/''n'', nøyaktig som i den ikke-relativistiske beskrivelsen. Men energien til elektronet er litt forandret,

: <math> E = {m_e c^2\over\sqrt{1 - v^2/c^2}} - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r} = m_e c^2\sqrt{1 - v^2/c^2} </math>

Setter man her inn for hastigheten og utvikler kvadratroten i henhold til [[binomialformel]]en, blir derfor energinivåene for sirkulære baner i hydrogenatomet gitt som

: <math> E = m_e c^2\left[1 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^2 - {1\over 8}\left({\alpha Z\over n}\right)^4 + \cdots \right] </math>

Her er det første leddet hvileenergien til elektronet når det er i ro. Neste ledde er i overensstemmelse med Bohrs ikke-relativistiske formel, mens det tredje leddet er den første, relativistiske korreksjonen til denne. Som ventet er den størst for de innerste banene hvor hovedkvantetallet ''n'' er lite og derfor elektronets hastighet stor.<ref name = BM/>

===Halvklassisk finstruktur===
[[Fil:H-atom-5.jpg|thumb|400px|Finstruktur i laveste energinivå i H-atom angitt ved kvantetall (''n,k'') som resultat av Bohr-Sommerfeld-kvantisering. De <span style="color:red;">røde  pilene</span>  viser tillatte overganger &Delta;''k'' = &plusmn;1 som splitter H<sub>''&alpha;''</sub> - linjen, mens den <span style="color:blue;">blå pilen</span> viser overgangen som gir  Ly-alfa.]]

Generelt foregår ikke den relativistiske bevegelsen til elektronet i en sirkelbane, men i en ellipsebane hvor hovedaksen [[presesjon|presesserer]]. I tillegg til den angulære impulskompoenten ''p<sub>&phi;</sub>''&thinsp; har det også en radiell komponent ''p<sub>r</sub>''&thinsp; som må inngå i det [[Kovariant relativitetsteori#Relativistisk bevegelsesligning|kovariant uttrykket]] 

: <math> \mathbf{p}^2 c^2 + m_e^2c^4 = (E - V)^2 </math>

med den potensielle energien {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''&thinsp;}}. Det gir sammenhengen

: <math> p_r^2 + {p_\phi^2\over r^2} + m_e^2 c^2 = {1\over c^2}\Big(E + {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\Big)^2 </math>

hvor {{nowrap|''p<sub>&phi;</sub>'' {{=}} ''n<sub>&phi;</sub>''&thinsp;''ħ''&thinsp;}} etter kvantisering. Som i det ikke-relativistiske tilfellet kan {{nowrap|''p<sub>r</sub>''&thinsp;}} herav bestemmes og kvantiseres med et tilsvarende, radielt kvantetall  {{nowrap|''n<sub>r</sub>''&thinsp;}}. Integralet som dermed fremstår har igjen samme form som tidligere og gir det generelle resultatet

: <math>  E = {m_e c^2\over\sqrt{1 + \big(\alpha Z/\big[ n_r +  \sqrt{n_\phi^2 - \alpha^2 Z^2}\big] \big)^2}} </math>

for de kvantiserte energinivåene  i hydrogenatomet. Dette er Sommerfelds relativistiske formel som han fant i 1916. Her inngår ikke lenger de to kvantetallene kun i kombinasjonen {{nowrap|''n'' {{=}}  ''n<sub>&phi;</sub>'' +  ''n<sub>r</sub>''&thinsp;}} som definerer hovedkvantetallet, men hver for seg. Degenerasjonen mellom tilstandene som har samme verdi av dette, er dermed opphevet i denne relativistiske kvantiseringen. Innfører man igjen Bohrs notasjon ''k = n<sub>&phi;</sub>'' for det orbitale kvantetallet, vil derfor hver tilstand (''n,k'') ha en distinkt energi. Man sier at spektrumet til atomet har en '''finstruktur'''.<ref name = Sommerfeld/>

For de letteste atomene med ''&alpha;Z'' << 1 kan man approksimere uttrykket for energien med en rekkeutvikling i denne lille parameteren. Det gir

: <math> E = m_e c^2\left[1 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^2 - {1\over 2}\left({\alpha Z\over n}\right)^4\left({n\over k} - {3\over 4}\right) + \cdots\right] </math>

Det andre leddet på høyre side er Bohrs resultat ''E<sub>n</sub>''&thinsp; for energinivåene, mens det neste leddet gir den relativistiske korreksjonen. Den kan skrives som

: <math> \Delta E_{n,k} = {Z^2\alpha^2\over n^2}\left({n\over k} - {3\over 4}\right)  E_n </math>

Sirkulære baner har ''k = n'' og derfor energier i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Da kvadratet ''&alpha;''<sup>2</sup>&thinsp; av [[finstrukturkonstant]]en er av størrelsesorden 10<sup>-4</sup>, er effekten av denne finstrukturen veldig liten og avtar for høyere energinivå med større verdier av hovedkvantetallet. For hydrogenatomet med ''Z'' = 1 er differansen mellom den sirkulære og elliptiske banen på andre nivå {{nowrap|''n'' {{=}} 2&thinsp;}} gitt ved {{nowrap|&Delta;''E<sub>H</sub>'' {{=}} &Delta;''E''<sub>2,2</sub> - &Delta;''E''<sub>2,1</sub> {{=}} (''&alpha;''<sup>2</sup>/16)&thinsp;Ry}} som stemmer med den observerte splittelsen til H<sub>&alpha;</sub>-linjen når man ser bort fra den mindre finstrukturen på nivået  {{nowrap|''n'' {{=}} 3}}. 

For [[ion]]et He<sup>+</sup> er den tilsvarende oppsplittingen større da det har ''Z'' = 2. I tillegg er linjene skarpere da dette ionet er fire ganger tyngre. Nøyaktige målinger ved [[Friedrich Paschen]] ga igjen full overenstemmelse med Sommerfelds teoretiske resultatet.<ref name = Sommerfeld/>