Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

==Dempet  oscillator==
[[Fil:Damping.svg|thumb|300px|Eksempel på de tre typene av dempete svingninger. Her er friksjonskonstanten ''&gamma; = &zeta;&omega;''<sub>0</sub>.]]
I praksis vil en harmonisk oscillator være utsatt for [[friksjon]]. Denne vil bevirke at hastigheten blir redusert eller «dempet» slik at utslagene blir mindre og mindre og til slutt dør helt ut. Ofte kan denne friksjonskraften antas å være proporsjonal med hastigheten.  Dermed blir bevegelsesligningen for oscillatoren forandret til

: <math>m\ddot{x} = - kx - b\dot{x} </math>

hvor ''b'' er friksjonskonstanten. Friksjonskraften er ikke [[potensiell energi#Konservative krefter|konservativ]], og en dempet oscillator i bevegelse vil alltid ende opp i ro ved at dens energi ''E&thinsp;'' er gått over i friksjonsvarme. Det følger fra

: <math> {dE\over dt} = (m\ddot{x} + kx)\dot{x} = - b\dot{x}^2 </math>

hvor leddet på høyre side alltid er negativt. Energien avtar derfor med tiden uansett hvordan oscillatoren beveger seg.<ref name="BO">V. Barger and M. Olsson, ''Classical Mechanics: A Modern Perspective'', McGraw-Hill Co., New York (1994). ISBN 0-07-003734-5.</ref>

Skriver man den som ''b'' = 2''m&gamma;'', tar ligningen for den dempete oscillatoren standardformen

: <math> \ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2x = 0 </math>

hvor nå ''&omega;''<sub>0</sub> = &radic;(''k/m'') er vinkelfrekvensen for den udempete svingningen. Det er fremdeles en differensialligning av andre orden slik den generelle løsningen vil igjen involvere to integrasjonskonstanter.

Den nye bevegelsesligningen er lineær og kan igjen løses ved antagelsen {{nowrap|''x''(''t''&thinsp;) {{=}} exp(''&alpha;t'')}}. Da må den ukjente størrelsen ''&alpha;'' oppfylle

: <math> \alpha^2 + 2\gamma\alpha + \omega_0^2 = 0 </math>

Denne [[andregradsligning]]en har i alminnelighet to løsninger som er

: <math> \alpha_\pm = - \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} </math>

De fysiske egenskapene til løsningene avhenger av hvor stor friksjonskoeffisienten ''&gamma;''&thinsp; er i forhold til egenfrekvensen ''&omega;''<sub>0</sub>. Man finner dermed tre kategorier av dempete svingninger.

===Overdempning===

Når  ''&gamma;'' > ''&omega;''<sub>0</sub> er begge verdiene for ''&alpha;''&thinsp; negative. Den generelle løsningen for bevegelsen er da

: <math> x(t) = (Ae^{\beta t} + Be^{-\beta t})e^{-\gamma t}  </math>

hvor igjen ''A''&thinsp; og  ''B''&thinsp; er konstanter og

: <math> \beta = \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} </math>

Hvis oscillatoren starter med null hastighet, beveger den seg langsomt tilbake mot likevektspunktet som den først når etter uendelig lang tid.

===Kritisk dempning===

I det meget spesielle tilfellet at  ''&gamma;'' = ''&omega;''<sub>0</sub> faller de to løsningene for  ''&alpha;''&thinsp; sammen. Dempningen er da «kritisk». Det kan da se ut til at det bare er en løsning med {{nowrap|''&alpha;'' {{=}} - ''&gamma;''}}. Men det vises lett at nå er også {{nowrap|''t''&thinsp;exp(''&alpha;t'')}}&thinsp; en løsning. Derfor er den generelle løsningen i dette kritiske tilfellet

: <math> x(t) = (A + Bt) e^{-\gamma t} </math>

Igjen er det ingen oscillasjoner i bevegelsen. Men hvis den starter med null hastighet, kan den i dette tilfellet bevege seg litt forbi likevektspunktet {{nowrap|''x'' {{=}} 0&thinsp;}} før utslaget langsomt går mot null. Dette avhenger av det relative forholdet mellom konstantene ''A''&thinsp; og ''B''.

===Underdempning===
[[Fil:Schwingung gedämpft.svg|thumb|280px|En underdempet svingning hvor amplituden blir langsomt mindre.]]
Når dempningen er svak, vil ''&gamma;'' < ''&omega;''<sub>0</sub> og begge løsningene for ''&alpha;''&thinsp; er [[komplekst tall|komplekse tall]]. Skrives disse som

: <math> \alpha_\pm = - \gamma \pm i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} </math>,

kan den generelle løsningen i dette tilfellet med «underdempning» skrives som

:<math> x(t) = (A\cos\Omega t + B\sin\Omega t)e^{-\gamma t} </math>

Dette er en harmonisk svingning med en litt redusert frekvens

: <math> \Omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} </math>

og en amplitude som blir mindre med tiden på grunn av den eksponentielle dempningsfaktoren i løsningen.

Hvis man betrakter det generelle tilfellet at oscillatoren starter i posisjon ''x''<sub>0</sub>&thinsp; med hastighet ''v''<sub>0</sub>, kan de to konstantene ''A''&thinsp; og ''B'' bestemmes. Da blir løsningen

: <math> x(t) = \Big(x_0\cos\Omega t + \big(v_0 + \gamma x_0\big){\sin\Omega t\over\Omega}\Big)e^{-\gamma t} </math>

Hvis dempningen nå øker slik at ''&gamma;'' &rarr; ''&omega;''<sub>0</sub>, vil frekvensen {{nowrap|''&Omega;'' &rarr; 0}}. Benytter man da at i denne grensen vil {{nowrap|sin''&thinsp;&Omega;t''&thinsp;/''&Omega;'' &rarr; ''t'',}} finner man derved den generelle løsningen for kritisk dempning.