Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

===Poincaré-koordinater===

I [[Poincarés modell]] for det hyperbolske planet avbildes det til øvre halvdel av ''xy''&thinsp;-&thinsp;planet med metrikken

: <math> ds^2 = {dx^2 + dy^2\over y^2} </math>

Den tilsvarende energien <math> E = (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)/2y^2 </math> er uavhengig av koordinaten ''x'' slik at <math> \partial E/\partial\dot{x} = \dot{x}/y^2 </math> er lik med en konstant ''k''. Med naturlig parametrisering er {{nowrap|''E'' {{=}} 1/2}} slik at man med en gang får den andre Euler-Lagrange-ligningen på formen

: <math> {dy\over dx} = {1\over ky} \sqrt{1 - k^2y^2} </math>

Etter en direkte integrasjon gir den ligningen 

: <math> (x - a)^2 + y^2 = {1\over k^2} </math>
hvor ''a&thinsp;'' er en integrasjonskonstant, for de geodetiske linjene. Disse består derfor av halvsirkler i det øvre halvplanet med sine sentra på ''x''-aksen.