Redigerer Eulers tall (avsnitt)

===Naturlig logaritmefunksjon===
[[Fil:Ln+e.svg|thumb|300px|Eulers tall ''e'' er definert ved at den naturlige logaritmefunksjonen som der har verdien ln ''e'' = 1.]]

Den [[funksjon (matematikk)#Som inverse funksjon|inverse]] funksjon ''y''(''x'') til eksponentialfunksjonen ''e<sup>x</sup>&thinsp;'' vil per definisjon måtte tilfredsstille

: <math> e^{y(x)} = x </math>

og er den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmefunksjonen]] ''y'' = ln&thinsp;''x'' med ''e'' som grunntall slik at {{nowrap|ln&thinsp;''e'' {{=}} 1}}. Ved å derivere begge sider av ligningen ved bruk av [[derivasjon|kjerneregelen]], finner man da

: <math> e^{y(x)}{dy\over dx} = 1 </math>

Den deriverte av logaritmefunksjonen er derfor ''dy''/''dx'' = 1/''x''&thinsp; som er utgangspunktet for den hyperbolske logaritmen. Ved denne formuleringen skrives funksjonen på den mest anvendelige form som

: <math> \ln(1+x) = \int_0^x{dt\over 1 + t} </math>

Når absoluttverdien |''x''&thinsp;| < 1, kan integranden utvikles i en [[geometrisk rekke]] som dermed kan integreres ledd for ledd. Det gir

: <math>  \ln(1+x) = x - {1\over 2}x^2 + {1\over 3}x^3 - {1\over 4}x^4 + \cdots </math>

som er praktisk for numerisk utregning av logaritmer. Rekken kan føres tilbake til [[Isaac Newton|Newton]], men ble også utledet av [[Nicholas Mercator]] som har fått sitt navn knyttet til den.<ref name = Boyer/>