Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

===Cayley-Klein-metrikk===

En projektiv geometri har i utgangspunktet ingen metriske egenskaper. Men på midten av 1800-tallet viste [[Arthur Cayley]] at dette kan realiseres ved at man tenker seg at det projektive planet inneholder et ''absolutt'' [[kjeglesnitt]] bestående av ikke-tilgjengelige eller ''ideelle'' punkt. Da en linje i planet vil skjære denne kurven i to punkt, kan avstanden mellom to andre punkt på samme linje bestemmes ut fra [[dobbeltforhold]]et til disse fire punktene.<ref name = Faulkner>T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>

Noen år senere benyttet [[Felix Klein]] denne innsikten til gi en ny beskrivelse av [[hyperbolsk geometri]]. På enkleste form er da det absolutte kjeglesnittet gitt ved ligningen

: <math> x^2 + y^2 - z^2 = 0 </math>

I et hjelpeplan ''z'' = 1 tilsvarer det en sirkel om origo. Alle punktene i denne plangeometrien ligger nå innenfor denne sirkelen. Deres metriske egenskaper kan da beregnes og er gitt med [[Cayley-Klein-metrikk]]en. Den stemmer overens med hva som ble tidligere funnet av  [[Janos Bolyai|Bolyai]] og [[Nikolaj Lobatjevskij|Lobatjevskij]].

Den andre typen av kjeglesnitt i planet er av formen

: <math> x^2 + y^2 + z^2 = 0 </math>

som ikke inneholder noen vanlige, [[reelt tall|reelle]] punkt. Men likevel gir den en reell Cayley-Klein-metrikk for det elliptiske planet i overenstemmelse med hva som var etablert på andre måter.<ref name = Bonola/>