Redigerer Dobbeltforhold (avsnitt)

===Koordinattransformasjoner===

En forandring av referansepunktene tilsvarer en ''passiv'' koordinattransformasjon. Det er det motsatte av en ''aktiv'' transformasjon der de homogene koordinatene (''&mu;,&lambda;'') til punktet ''P'' under betraktning forandres. På samme måte som i det todimensjonale, projektive planet kan en slik [[Projektivt plan#Projektive transformasjoner|projektiv transformasjon]] for '''RP'''<sup>1</sup> skrives som

: <math> \begin{pmatrix} \lambda' \\ \mu' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix} </math>

hvor ''A'' er en reell, 2&times;2 [[matrise]] på formen

: <math> A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} </math>

Transformasjonen er ikke-triviell når [[determinant]]en det&thinsp;''A'' = ''ad - bc'' &ne; 0 som betyr at matrisen også kan inverteres.<ref name = Stillwell/>

For to punkt ''P''<sub>1</sub> og  ''P''<sub>2</sub> kan deres homogene koordinater samles i en ny, 2&times;2 matrise ''M'' som transformerer til ''M'&thinsp;'' = ''AM'' eller

: <math> \begin{pmatrix} \lambda'_1 & \lambda'_2 \\ \mu'_1 & \mu'_2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ \mu_1 & \mu_2 \end{pmatrix}</math>

I projektiv geometri kan man tilordne linjestykket mellom disse to punktene en størrelse ''P''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub> = det&thinsp;''M''. Ved å skrive ut denne determinanten, har man

: <math> P_1P_2 = \det \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ \mu_1 & \mu_2 \end{pmatrix} = \lambda_1\mu_2 - \lambda_2\mu_1 </math>

Under en koordinattransformasjon vil det&thinsp;''M'&thinsp;'' = det&thinsp;''A''&sdot;det&thinsp;''M'' slik at dobbeltforholdet

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {P_1P_3\over P_2P_3} \cdot {P_2P_4\over P_1P_4} </math>

forblir det samme da den felles faktor med det&thinsp;''A'' kansellerer mellom teller og nevner.

For alle endelige punkt kan man sette ''&mu;'' = 1 slik at den ikke-homomogene koordinaten {{nowrap|''x'' {{=}} ''&lambda;''/''&mu;''}} = ''&lambda;''. Uttrykket for dobbeltforholdet går dermed over i det forrige som ble funnet i projektiv geometri. Under den samme transformasjonen tar denne koordinaten en ny verdi som er gitt ved den spesielle, [[rasjonal funksjon|rasjonale funksjonen]]

: <math> x' = {ax +b \over cx + d} </math>

Ved direkte utregning kan man vise at dobbeltforholdet forblir uforandret under slike transformasjoner.<ref name="Cederberg">J. N. Cederberg, ''A Course in Modern Geometries'', Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-98972-2.</ref>