Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

===Kvantisert oscillator===

Den samme Boltzmann-fordelingen kan også benyttes for en [[kvantisert harmonisk oscillator]]. Da kan den bare ha energiene <math> E_n = \hbar\omega(n + 1/2) </math> hvor kvantetallet ''n'' = 0, 1, 2 og så videre. Det betegner nå de kvantemekaniske mikrotistandene slik at den tilsvarende partisjonsfunksjonen blir

: <math> Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta\hbar\omega(n + 1/2)} = {e^{-\beta\hbar\omega/2}\over 1 - e^{-\beta\hbar\omega}} </math>

Ved så høye temperaturer at <math> k_B T \gg \hbar\omega, </math> går dette uttrykket over til å gi det klassiske resultatet <math> Z = k_BT/\hbar\omega .</math>

Oscilllatorens indre energien følger nå som

: <math> U =   -{\partial\over\partial\beta}\ln Z = {1\over 2}\hbar\omega + {\hbar\omega\over e^{\hbar\omega/k_BT} - 1 } </math>

Det første bidraget <math>  \hbar\omega/2 </math> er dens [[Kvantisert harmonisk oscillator#Nullpunkktsenerrgi|nullpunktsenergi]] som er den indre energien i grensen ''T'' &rarr; 0.  Ved høyere temperaturer bidar det andre leddet som [[Einstein]] benyttet  i 1907 til å forklare hvordan [[varmekapasitet]]en til et fast stoff varierer med temperaturen. I sin [[Einsteins oscillatormodell|modell]] tenkte han seg at det består av partikler i faste posisjoner som kan oscillere med samme frekvens om sine likevektsposisjoner.<ref name = Sears> F.W. Sears, ''An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).</ref>