Redigerer Akselerasjon (avsnitt)

== Tangential og sentripetalakselerasjon ==
[[Fil:Oscillating pendulum.gif|mini|En oscillerende pendel med den dekomponerte hastigheten '''v''' og (sentripetal-)akselerasjonen '''a''' vist som vektorer. Dette er et eksempel på et legemet som opplever både tangential- og sentripetalakselerasjon, der tangentialakselerasjon er en vektor med lik retning som hastigheten. Legg merke til at hver gang pendelen snur og dens fart øker fra null peker vektorene for hastighet (dermed også tangentialakselerasjon) og sentripetalakselerasjon et kort øyeblikk samme vei. Når den er på vei mot bunnpunktet er hastighetsøkningen stor, og på sitt største akkurat ved bunnpunktet, hvor følgelig den tangentiale akselerasjonsvektoren er på sitt største.]]

Hastigheten til et legeme som beveger seg i en buet bane som en [[Funksjon (matematikk)|funksjon]] av tiden kan skrives som:

:<math>\vec{v} (t) =v(t) \frac {\vec {v}(t)}{v(t)} = v(t) \vec {u}_\mathrm{t}(t) , </math>

med ''v''(''t'') som er lik hastigheten for bevegelse langs banen, og: 

:<math>\vec{u}_t = \frac {\vec{v}(t)}{v(t)} \ , </math>

som er en tangentiell [[Vektor (matematikk)#Nullvektoren og enhetsvektorer|enhetsvektor]] til banen som peker i bevegelsesretningen på det valgte øyeblikk i tid. Tatt i betraktning både skiftende hastighet <math> v(t)</math> og skiftende retning av <math> \vec u_t</math>, kan akselerasjonen til en partikkel som beveger seg i en buet bane, skrives med [[kjerneregelen]] for derivering<ref>{{cite web|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Chain Rule|url=http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html|website=Wolfram MathWorld|publisher=Wolfram Research|accessdate=2. august 2016}}</ref> for et produkt av to funksjoner av tid som:

:<math>\begin{alignat}{3}
\vec{a} & = \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d}t} \\
           & =  \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \vec{u}_\mathrm{t} +v(t)\frac{d \vec{u}_\mathrm{t}}{dt} \\
           & = \frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t} \vec{u}_\mathrm{t}+ \frac{v^2}{r}\vec{u}_\mathrm{n}\ , \\
\end{alignat}</math>

der <math> \vec u_n</math> er [[normal (geometri)|enhetsnormalvektoren]] (innover) til legemets bane (også kalt ''hovednormalen''), og ''r'' er dens momentane [[Radius|kurveradius]] basert på den aktuelle krumningssirkelen for tidspunktet ''t''. Disse komponentene blir kalt henholdsvis ''tangentiell akselerasjon'' og ''normal-'' eller ''radiell akselerasjon'' (eller sentripetalakselerasjon i sirkulær bevegelse).

=== Sirkelbevegelse === 
[[Fil:Kettenkarussell - Dachauer Voksfest 2013 (tone-mapping).jpg|mini|Sirkulær bevegelse i en karusell. {{byline|Guido Radig}}]]

[[File:Nonuniform circular motion.svg|mini|Sirkulær akselerasjon med økning av hastighet, vist med økning av den blå vektorens lengde. Akselerasjonen er vist med rød vektorer, som er dekomponert i en  .  {{byline|Jonas De Kooning}}]]

''Uniform sirkulær bevegelse'' vil si at det er konstant fart langs en sirkulær bane, som er et eksempel på at et legeme akselererer. Selv om farten er konstant, endrer retningen av hastigheten seg konstant. Retningen av legemets bevegelse er tangentiell til sirkelen, og er en vektor som er i stadig forandring. Denne akselerasjonen er en radial akselerasjon <math> a_{rad} </math> siden det alltid er rettet mot midten av sirkelen. Absoluttverdien uttrykkes:<ref name="YL158">[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 158]]</ref>

:<math> a_{rad} = {{v^2} \over {r}}</math>

der <math>v</math> er legemets lineære [[fart]] langs den sirkulære bane og <math>r</math> er [[radius]] til sirkelbanen. Denne størrelsen kan også beregnes ut fra legemets [[vinkelhastighet]] <math>\omega</math>:

:<math> a_{rad} = {\omega^2} r </math>

Med ikke-uniform sirkulær bevegelse menes at hastighet langs den sirkulære banen endres, dette betyr at det også virker en akselerasjon som er parallell med den momentane hastigheten. Denne akselerasjonen er i tillegg en tangent til sirkelbanen. Denne komponenten <math> a_{tan} </math> uttrykkes:<ref name="YL88">[[#YL|Young og Freedman (2008), s. 88]]</ref>

:<math> a_{tan} = {d | \vec {v} | \over {r}}</math>

der <math> | \vec {v} | </math> er absoluttverdien av hastighetsvektoren, altså farten. En annen sammenheng som gjelder for farten og periodetiden <math> T </math>, altså tiden for legemet å gjennomløpe en runde i sirkelbanen:<ref name="YL88" />

:<math> v = { 2 \pi r \over {T}},</math>

og ved å sette denne sammenheng inn i formelen for radialakselerasjon over fås denne sammenhengen:<ref name="YL88" />

:<math> a_{rad} = { 4 \pi^2 r \over T^2},</math>

Denne akselerasjonskomponenten kan også finnes ut fra [[vinkelhastighet]]en, den er proporsjonal med endring av vinkelhastigheten rundt sirkelen ganger radius ''r'':

:<math> a_{tan}= {\omega^2}  r  </math>