Redigerer Virialteoremet (avsnitt)

===Statistisk mekanikk===

Den aller første anvendelse av virialteoremet var i [[statistisk mekanikk]] da [[Johannes Diderik van der Waals| Johannes van der Waals]] i 1873 utledet sin [[Van der Waals tilstandsligning|tilstandsligning]] for [[gass|reelle gasser]]. I tillegg til interne vekselvirkninger mellom partiklene beskrevet ved potensialet <math> u(r), </math> vil også kreftene fra veggene i volumet ''V&thinsp;'' da bidra i virialteoremet.

Når systemet er i [[termisk likevekt]] med [[Absolutt temperatur|temperatur]] ''T'', kan den midlere, kinetiske energien beregnes fra [[kinetisk teori]] og er <math>  2 \left\langle  K \right\rangle = 3N k_B T</math> når den uttrykkes ved [[Boltzmanns konstant]] ''k<sub>B</sub>''. Det fulle teoremet tar dermed formen

: <math> 3Nk_B T =  \sum_{k=1}^N \left(- \left\langle\mathbf{F}_k^{ext} \cdot \mathbf{r}_k\right\rangle  + \sum_{j<k}  \left\langle r_{kj}  {du\over dr_{kj}} \right\rangle  \right) </math>

Det første leddet representerer bidraget fra kollisjonene som partiklene har med de omsluttende veggene. Hvis [[trykk]]et i gassen er ''P'', kan denne eksterne kraften skrives som <math> \mathbf{F}_k^{ext} = - P\Delta \mathbf{S}_k </math> hvor diet lille flateelementet <math> \Delta\mathbf{S}_k </math> har en retningsnormaal som er rettet inn i volumet. Dermed gir dette bidraget

: <math>  -\sum_{k=1}^N \left\langle\mathbf{F}_k^{ext} \cdot \mathbf{r}_k\right\rangle =  P \oint_S \!d\mathbf{S}\cdot \mathbf{r}  = 3PV </math>

i den kontinuerlige grensen der man kan gjøre bruk av [[divergensteoremet]] med <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{r} = 3. </math> Det siste bidraget fra interne krefter kan beregnes ved hjelp av statistisk mekanikk. Da har man

: <math>  \sum_{k=1}^N\sum_{j<k}  \left\langle r_{kj}  {du\over dr_{kj}} \right\rangle = {1\over 2}N \rho \int_V \! d^3r \,r {du\over dr} g(r) </math>

hvor <math> \rho = N/V </math> er tettheten av partikler og <math> g(r) </math> er en «korrelasjonsfunksjon». Den beskriver sannsynligheten for å finne andre partikler i avstand ''r&thinsp;'' fra en gitt partikkel. Tilstandsligningen for en reell gass tar dermed formen

: <math> P = \rho k_BT - {1\over 6}\rho^2  \int_V \! d^3r \,r {du\over dr} g(r) </math>

hvor korreksjonene til den [[ideell gass|ideelle gassloven]] finnes i det siste leddet.<ref name="Lay"> J.E. Lay, ''Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter'', Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.</ref>

Dette resultatet for trykket skal også være gyldig i den kondenserte fasen, det vil si der gassen er godt over til å bli en væske. Det første leddet kan tilskrives bevegelsen til partiklene, mens det andre  skyldes deres vekselvirkninger. Da tettheten ''&rho;&thinsp;'' for en væske kan være typisk en faktor tusen ganger større enn for gassen, vil dens trykk være bestemt av begge leddene i motsetning til en gass hvor det første ledet dominerer. For at en væske skal ha et trykk rundt 1&thinsp;[[atm]], vil det derfor fremkomme ved en delikat balanse mellom disse to leddene som da hver for seg vil være mye større.