Redigerer Van der Waals tilstandsligning (avsnitt)

===Virial tilstandsligning===

Van der Waals ligning ble utvidet på begynnelsen av 1900-tallet av [[Heike Kamerlingh Onnes]]. Han tok igjen utgangspunkt i [[virialteoremet]], men tok i betraktning også vekselvirkninger som involverer mer enn to partikler. På den måten kom han frem til at en generell tilstandsligning må kunne skrives på formen

: <math>  {P\over k_BT} =  \rho  + \rho^2 \hat{B}_2(T) + \rho^3 \hat{B}_3(T) + \cdots</math>

hvor «virialkoeffisientene» <math> \hat{B}_\ell (T) </math>  systematisk kaan beregnes fra vekselvirkningspotensialene ved bruk av [[statistisk mekanikk]]. Dette kalles for  den viriale tilstandsligning.<ref>H. Kamerlingh Onnes, ''Expression of the equation of state of gases and liquids by means of series'', Proc. K. Ned. Akad. Wet. '''4''', 125-147 (1902). [https://dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00014258.pdf PDF] .</ref>

[[Fil:Dimensionless Lenard Jones 6-12.png|thumb|300px|Typisk vekselvirkningspotensial mellom to partikler i en gass hvor ''&sigma;&thinsp;'' angir deres minste avstand.]]
Ved tilstrekkelig lave partikkeltettheter vil den andre virialkoeffisienten være av størst betydning. Den er gitt ved potensialet ''&phi;''(''r'') som gir opphav til kraften mellom par av partikler. Da gir statistisk mekanikk at

: <math> \hat{B}_2(T) = {1\over 2}\int d^3r \left[1 -  e^{-\beta \phi(r)} \right] </math>

Denne kraften  forventes å være sterkt frastøtende når avstanden mellom dem er mindre enn en viss avstand ''&sigma;''. Hvis de betraktes som harde kuler med radius ''a'', ville da {{nowrap|''&sigma;'' {{=}} 2''a''}}. For litt større avstander forventes den å være svakt tiltrekkende. Integralet  i uttrykket for virialkoeffisienten kan da approksimeres med

: <math> \begin{align}  \hat{B}_2(T) &=  2\pi \int_0^\sigma dr\, r^2 +  {2\pi\over k_B T} \int_\sigma^\infty \! dr \, r^2 \phi(r) \\ &\equiv b_0 - {a_0\over k_B T}  \end{align} </math>

hvor  <math> b_0 = 2\pi\sigma^3/3 \ </math> og <math> \; a_0 = -2\pi\int_\sigma^\infty \! dr\, r^2 \phi(r) \, </math> er en liten, positiv størrelse. På denne måten finner man en meget god tilnærmelse til van der Waals ligning. Det samme vekselvirkningspotensialet vil også bidra til de høyere virialkkoeffisienente og dermed forbedre overensstemmelsen.<ref name = Huang> K. Huang, ''Statistical Mechanics'', J. Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 0-471-85913-3.</ref>