Redigerer Termodynamikkens andre hovedsetning (avsnitt)

==Statistisk fysikk==

En dypere forståelse av termodynamikkens andre hovedsetning kan føres tilbake til [[Ludwig Boltzmann]] og hans arbeider fra midten av 1800-tallet. Han var inspirert av betraktningene til [[James Clerk Maxwell|James Maxwell]] som hadde beregnet sannsynligheten for å finne partikler med bestemte hastigheter i en [[gass]] som er i [[termisk likevekt]]. Selv om dens volum og temperatur er gitt, kan partiklene bevege seg med vidt forskjellige hastigheter som også hele tiden forandrer seg på grunn av gjensidige kollisjoner.<ref name = Longair/> 

Boltzmann forsto at for hver makroskopisk tilstand av gassen ville det være et stort antall ''W&thinsp;'' mikroskopiske tilstander som de enkelte partiklene kunne innta. Desto flere slike tilgjengelige tilstander for partiklene, desto større ville sannsynligheten for den tilsvarende makroskopiske tilstanden være. Dette antallet kunne han forbinde med [[entropi]]en til makrotilstanden. Siden den er additiv for to systemer som settes sammen, mens sannsynlighetene er multiplikative ved en slik kombinasjon, kom Boltzmann frem til at entropien må være gitt ved [[logaritme]]n til antall tilgjengelige mikrotilstander ''W''. I dag skrives denne sammenhengen som

: <math> S = k_B\ln W </math>

hvor ''k<sub>B</sub>'' er [[Boltzmanns konstant]] som på denne måten ble definert av [[Max Planck]]. Når et system med ''W''<sub>1</sub> mikrotilstanderr settes sammen med et annet med ''W''<sub>2</sub> slike tilstander, får det kombinerte systemet i alt ''W'' =  ''W''<sub>1</sub>''W''<sub>2</sub> mulige tilstander. Det vil derfor ha en total entropi 

: <math> S = k_B\ln (W_1 W_2) = k_B(\ln W_1 + \ln W_2)  </math>

eller ''S'' = ''S''<sub>1</sub> + ''S''<sub>2</sub> som forventet. Storparten av all terrmodynamikk kan utledes fra denne enkle formelen for entropien til et system.<ref name="KK"> C. Kittel and H. Kroemer, ''Thermal Physics'', W.H. Freeman and Company, San Fransisco (1980). ISBN 0-7167-1088-9.</ref>

===Entropiens vekst===

Desto flere mikrotilstander som er tillgjengelig for en viss makrotilstand, desto mer sannsynlig er denne. For eksempel kan bestandelene i et egg settes sammen til et knust egg på mange flere måter enn i den spesielle utgaven av et helt egg. Det knuste egget vil derfor ikke selv kunne gå tilbake til en makrotilstand som et uknust egg er. 

Denne generelle tendens til at entropien alltid øker, kan man illustrere med partiklene i en gass innesluttet i en beholder. Ved en gitt temperatur vil de da befinne seg noenlunde jevnt fordelt i hele dette volumet. Med et makroskopisk stort antall partikler er det da fullstendig usannsynlig at alle partiklene vil bevege seg inn i et hjørne til beholderen. Mer nøyaktig er sannsynligheten for at én partikkel skal befinne seg i den ene halvdelen av volumet lik med 1/2. Sannsynligheten for at to partikler skal samtidig være der, er da (1/2)<sup>2</sup> og (1/2)<sup>''N''</sup> for at alle ''N&thinsp;'' partikler i gassen skal gjøre det samme. Dette ville bety en reduksjon av entropien til gassen som er

: <math> \Delta S = k_B \ln(1/2)^N  = - Nk_B\ln 2 </math>

og derfor strider mot andre hovedsetning.Tilsvarende ville entropien øke like mye hvis alle partiklene opprinnelig befant seg i den ene halvdelen. Dette er i overensstemmelse med det [[Entropi#Ideell gass|termodynamiske resultatet]] 

: <math>  \Delta S = Nk_B\ln (V_2/V_1) </math>

hvor forholdet mellom volumene nå er ''V''<sub>2</sub>/''V''<sub>1</sub> = 2. Under en slik fri ekspansjon øker derfor entropien i verden på samme måte som når et egg faller ned og knuses.<ref name = Feynman> R.P. Feynman, [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_toc.html ''Lectures on Physics''], Volume 1 (1964). </ref>

Gassens frie ekspansjon er en ''irreversibel'' prosess. Den kan gjøres reversibel ved å la ekspansjonen foregå langsomt mot et stempel som balanserer trykket i gassen slik at den forblir i likevekt ved samme temperatur ''T''. På den måten utfører den et arbeid {{nowrap|&Delta;''W'' {{=}} ''T''&Delta;''S&thinsp;''}} Energien til dette blir tatt fra omgivelsene i form av varme som strømmer inn i gassen. Økningen av entropien til gassen blir derfor i dette tilfellet kompensert ved en tilsvarende reduksjon av entropien til omgivelsene. Den totale entropiforandringen ved en reversibel prosess er null.