Redigerer Stern-Gerlach-eksperimentet (avsnitt)

==Tenkte SG-eksperiment==
Stern-Gerlach-eksperimenetet blir benyttet i mange sammenhenger for å illustrere fundamentale forhold ved kvantemekaniske system. [[Richard Feynman]] gjorde utstrakt bruk av det i sine berømte forelesninger om kvantemekanikk for lavere grads studenter ved [[Caltech]] på midten av 1960-tallet.<ref name = RPF>R.P. Feynman, [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_06.html ''Spin One-Half''], [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html Volume III: Quantum Mechanics], Lectures on Physics, Caltech (1965).</ref> Senere har det jevnlig blitt diskutert i mer populære fremstillinger om forskjellige kvantefenomen.<ref name="Ball"> P. Ball, ''Beyond Weird'', The Bodley Head, London (2018). ISBN 978-1-847-92457-5.</ref>

For å forstå de mer bisarre egenskaper ved spinn-1/2 partikler, tenker man seg vanligvis flere Stern-Gerlach-apparat (SG) etter hverandre. I hvert apparat deler strålen seg i to. Man kan eventuelt blokkere den ene og la den andre fortsette videre til neste apparat. 

[[Fil:sg-seq.svg|thumb|Stern-Gerlachs sekvensielle eksperimenter]]
Eksperimentene man kan tenke seg å utføre, har mange likhetspunkter med hva man kan observere ved å la polarisert lys gå gjennom forskjellige filtre eller polarisatorer.<ref name="Hecht"> E. Hecht, ''Optics'', Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.</ref>

===Første eksperiment===
Det første SG-apparatet virker langs ''z''-aksen og splitter strålen i to deler. En av dem kalles  ''z''+ og blir avbøyd oppover, mens ''z''- går litt nedover og blir blokkert,

Hvert spinn i den øvre strålen vil være i kvantetilstanden <math> |\! +z\rangle </math> når man benytter [[Dirac-formalisme]]n med bra-ket-vektorer. Hvis man nå lar den øvre strålen gå gjennom et nytt SG-apparat som også er orientert langs ''z''-aksen, vil alle spinnene igjen bli avbøyd langs denne retningen ''z''+ og ingen langs ''z''-. Dette er en måling eller observasjon av spinnene i den øvre strålen. Resultatet kan derfor skrives som <math> \langle +z\,| +z\rangle = 1 </math> og <math> \langle - z\,| +z\rangle = 0. </math> Etter målingen vil spinnet befinne seg i den observerte egentilstanden.

===Andre eksperiment===
I det andre eksperimentet undersøker man igjen den øvre strålen  ''z''+  fra det første apparatet, men denne gangen med et SG-apparat som er orientert lang ''x''-aksen. Rent klassisk vil ikke denne strålen kunne splittes i dette apparatet da alle spinnene har retning ''z''+ og kan derfor ikke avbøyes av et magnetfelt i ''x''-retning. Men [[Pauli-matrise#Bloch-sfære|kvantemekanikken]] sier at man vil observere at halvparten av spinnene vil ble avbøyd lang ''x''+ og halvparten langs ''x''-. Det betyr at de '''i gjennomsnitt''' ikke vil bli avbøyd langs ''x''-aksen, i overensstemmelse med den klassiske prediksjonen.

Matematisk kan man uttrykke disse observasjonene med [[Kvantemekanikk#Observasjon og målinger|sannsynlighetsamplitudene]] <math> \langle +x\,| +z\rangle = 1/\sqrt{2} \; </math> og <math> \langle - x\,| +z\rangle = 1/\sqrt{2}. </math> Det betyr at egentilstanden for spinn opp kan skrives som [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjonen]] uttrykt ved 

: <math>  |\! +z\rangle = \sqrt{1\over 2} \big( |\! +x\rangle +  |\! -x \rangle \big) </math>

I dagligtale ville man si at det samtidig peker både til høyre og til venstre, selv om det i vår makroskopiske verden høres meningsløst ut.

===Tredje eksperiment===
Man kan igjen blokkere strålen som kommer ut langs ''x''- i det andre SG-apparatet. Den øvre strålen inneholder da spinn som kun peker langs den positive ''x''-aksen, og den blir så analysert i et tredje SG-apparat. Når dette er orientert langs ''z''-aksen, vil man igjen observere at halvparten blir avbøyd oppover langs ''z''+ og halvparten nedover. Selv om alle i retningen ''z''- ble blokkert i det første apparatet, dukker de derfor opp igjen ved denne nye målingen. 

Igjen har man dermed påvist en superposisjon gitt ved

: <math>  |\! +x\rangle = \sqrt{1\over 2} \big( |\! +z\rangle +  |\! -z \rangle \big) </math>,

og må konkludere med at hver måling av systemet endrer dets egenskaper. Matematisk skyldes det at spinnoperatorene ''S<sub>x</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' ikke kommuterer med hverandre. Det tilsvarer at operatorene for posisjon og impuls for en partikkel heller ikke kommuterer, og dermed gir opphav til [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]].