Redigerer Sirkelinversjon (avsnitt)

==Geometrisk konstruksjon==

[[Fil:Inversion in circle.svg|thumb|300px|Konstruksjon av inverse punkt ''P'' og ''P'&thinsp;'' relativt til sirkelen med senter i ''O''. Linjen ''NN'&thinsp;'' er [[pol og polare|polaren]]  til ''P''.]]

Ved bruk av en [[passer]] og [[linjal]] kan det inverse punktet relativt til en gitt sirkel finnes ved en [[konstruksjon (geometri)|geometrisk konstruksjon]]. Det gitte punktet ''P'' kan ligge innenfor eller utenfor denne sirkelen med senter i ''O'' og radius ''r''. I det spesielle tilfellet at det ligger på sirkelen, forblir ''P&thinsp;'' uforandret.

Når ''P'' ligger utenfor sirkelen, konstruerer man en ny sirkel med linjestykket ''OP'' som diameter. Den skjærer inversjonssirkelen i to punkt ''N'' og ''N'&thinsp;''. Linjen gjennom disse to punktene skjærer linjen langs ''OP&thinsp;'' i et punkt ''P'&thinsp;'' som er det inverse punktet til ''P''.

Grunnen til dette er at de to rettvinklete [[trekant]]ene ''OPN'' and ''ONP{{'}}'' er similære da de har to like store vinkler. Derfor er {{nowrap|''OP''/''r'' {{=}} ''r''&thinsp;/''OP'&thinsp;''}} som viser at betingelsen for inversjon er oppfylt.

Da punktet ''P'&thinsp;'' er harmonisk konjugert med ''P'', vil den rette linjen gjennom  ''N'' og ''N'&thinsp;'' være [[pol og polare|polaren]] til punktet ''P'' med hensyn til inversjonssirkelen.<ref name = CG/>

I det motsatte tilfellet ligger ''P'' innenfor sirkelen. Hvis nå en linje blir trukket gjennom dette punktet og vinkelrett på ''OP'', vil den skjære sirkelen i to punkt ''N'' og ''N'&thinsp;''. Det inverse punktet finnes nå ved å konstruere en ny sirkel som går gjennom de tre punktene ''O'', ''N'' og ''N'&thinsp;''. Der denne skjærer forlengelsen av linjen ''OP'', ligger det inverse punktet ''P'&thinsp;''. Det bevises på samme måte som i det første tilfellet.