Redigerer Projektiv geometri (avsnitt)

===Nyere tid===
Projektiv geometri fikk en ny start i Paris med [[Gaspard Monge]] som var opptatt av [[deskriptiv geometri]] til praktisk bruk, spesielt i militære sammenhenger. En av hans tidligste elever var [[Joseph Diez Gergonne|Joseph Gergonne]] som systematiserte bruken av dualitet i todimensjonal, projektiv geometri, det vil si symmetrien mellom punkt og linjer. I samme gruppe med matematikere var også  [[Jean-Victor Poncelet]] som samlet sammen og videreførte resultatene til Desargues og presenterte disse på en mer helhetlig måte inspirert av Euklids verk [[Euklids Elementer|''Elementer'']]. Dette ble kalt ''syntetisk geometri'' i motsetning til [[analytisk geometri]].

For å kunne gi projektiv geometri en analytisk behandling, må den formuleres med matematiske ligninger som inneholder [[koordinatsystem|koordinater]] til punkter og linjer. Et første step i denne retningen ble gjort av [[Lazare Carnot]] som også tilhørte gruppen rundt Monge. Han viste hvordan punkter på en linje kan koordinatiseres slik at man kunne gjøre bruk av [[delingsforhold]]et mellom dem. Av større betydning var koordinatene som [[August Ferdinand Möbius|August Möbius]] innførte 1827 i forbindelse med [[affin geometri]]. Disse ble generalisert til '''homogene koordinater''' et par år senere av [[Julius Plücker]]. De viste seg fort å være ideelle for projektiv geometri og kan brukes i [[projektivt rom|projektive rom]] av høyere dimensjoner. På den måten kunne han gi en elegant, matematisk formulering av dualitet.

Projektiv geometri er mer generell enn [[affin geometri]]. Men hvis man ser bort fra de ideelle punktene i det uendelige, skulle det projektive rommet gå over i [[affint rom|det affine rommet]] slik at man får euklidsk geometri. Matematisk ble dette demonstrert av [[Arthur Cayley]] i 1859 ved å bruke dobbeltforholdet til å sette størrelse på vinkler og avstander målt i forhold til visse punkter i det uendelige, bestemt av et ''absolutt kjeglesnitt''. Ti år senere viste [[Felix Klein]] ved bruk av samme fremgangsmåte at også [[ikke-euklidsk geometri]]er vil følge fra projektiv geometri.