Redigerer Poincarés tilbakevendingsteorem (avsnitt)

== Kvantemekanisk versjon ==
For tidsuavhengige kvantemekaniske systemer med diskrete energistatistikker holder en lignende setning. For hver <math>\varepsilon >0</math> og <math>T_0>0</math> eksisterer en tid ''T'' som er større enn <math> T_0</math>, slik at <math>|| \psi(T) \rangle - |\psi(0)\rangle| < \varepsilon</math>, hvor  <math>| \psi(t)\rangle</math> betegner tilstandsvektoren til systemet på tidspunktet t.<ref>{{cite journal|first1=P.|last1=Bocchieri|first2=A.|last2=Loinger|title=Quantum Recurrence Theorem|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1957-07-15_107_2/page/n5|journal=[[Physical Review|Phys. Rev.]]|volume=107|issue=2|pages=337–338|year=1957|doi=10.1103/PhysRev.107.337|bibcode=1957PhRv..107..337B}}</ref><ref>{{cite journal|first=I.C.|last=Percival|title=Almost Periodicity and the Quantal H theorem|journal=[[Journal of Mathematical Physics|J. Math. Phys.]]|volume=2|issue=2|pages=235–239|year=1961|doi=10.1063/1.1703705|bibcode=1961JMP.....2..235P}}</ref><ref>{{cite journal|first=L. S.|last=Schulman|title=Note on the quantum recurrence theorem|journal=Phys. Rev. A|volume=18|issue=5|pages=2379–2380|year=1978|doi=10.1103/PhysRevA.18.2379|bibcode=1978PhRvA..18.2379S}}</ref>

De viktigste elementene i beviset er som følger. Systemet utvikler seg i tid i henhold til:

: <math>|\psi(t)\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n \exp(-i E_n t)|\phi_n\rangle</math>

hvor <math>E_n</math> er energien egenverdier (vi bruker naturlige enheter, så <math>\hbar = 1</math> ), og <math>|\phi_n \rangle</math> er energien egenstatene. Den kvadratiske normen for forskjellen mellom tilstandsvektoren på det tidspunktet ''<math>T</math>'' og tid null kan beskrives som følger:

: <math>| |\psi(T) \rangle - |\psi(0)\rangle|^2 = 2\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)]</math>

Vi kan avkorte summeringen til noen n = N uavhengig av ''T'', fordi

<math>\sum_{n=N+1}^\infty |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)] \leq 2\sum_{n=N+1}^\infty |c_n|^2</math>

som kan gjøres vilkårlig liten ved å øke N, som summering <math>\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2</math>, å være den kvadratiske normen til den opprinnelige tilstanden, konvergerer til 1.

Den endelige summen

: <math>\sum_{n=0}^N |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)]</math>

kan gjøres vilkårlig liten for spesifikke valg av tiden ''T'', i henhold til følgende konstruksjon. Velg en vilkårlig <math>\delta>0</math>, og velg ''T'' slik at det er heltall <math>k_n</math> som tilfredsstiller

: <math>|E_n T -2\pi k_n|<\delta</math>,

for alle tall <math>0 \leq n \leq N</math>. For dette spesifikke valget av ''T'',

: <math>1-\cos(E_n T)<\frac{\delta^2}{2}.</math>

Som sådan har vi:

: <math>2\sum_{n=0}^N |c_n|^2 [1-\cos(E_n T)] < \delta^2 \sum_{n=0}^N |c_n|^2<\delta^2</math>.

Tilstandsvektoren <math>|\psi(T)\rangle</math> returnerer dermed vilkårlig nær den opprinnelige tilstanden <math>|\psi(0)\rangle</math>.