Redigerer Pi (avsnitt)

== Formler der {{pi}} opptrer ==

=== Geometri ===
{{Pi}} forekommer i mange [[geometri]]ske formler for [[sirkel|sirkler]], [[kule (geometri)|sfære]]r og andre runde objekter.

{| border="1" cellpadding="5" style="border-collapse: collapse; border-color:#cccccc;"
!<!--- Bild --->
!Geometrisk form
!Formel
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Geometri cirkel.png|75px|Sirkel]]
|[[Omkrets]]en av en sirkel med [[radius]] <math>r</math> og [[diameter]] <math>d</math>
|<math>O = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[Areal]]et av en sirkel med radien <math>r</math>
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|[[Fil:Elipse.svg|75px|Ellipse]]
|Arealet av en [[ellipse]] med halvaksene <math>a</math> og <math>b</math>
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Sphere wireframe.svg|75px|Sfære]]
|[[Volum]]et av en [[kule (geometri)|sfære]] (kule) med radius <math>r</math> og diameter <math>d</math>
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!</math>
|-
|[[Areal|Overflateareal]]et av en sfære med radius <math>r</math>
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Cylinder geometry.svg|50px|center|Sylinder]]
|Volumet av en [[sylinder]] med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|[[Areal|Overflateareal]]et av en sylinder med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|rowspan="2"|[[Fil:Kon (geometry).png|75px|Kon]]
|Volumet av en [[kjegle]] med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|[[Areal|Overflateareal]]et av en kjegle med høyde <math>h</math> og radius <math>r</math>
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}

=== Analyse ===
Tallet {{pi}} er tett forbundet med de [[Komplekst tall|komplekse tallene]], noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i [[Eulers formel]] for den komplekse [[eksponentialfunksjon]]en,
:<math>e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta.\,</math>

Et spesialtilfelle er [[Eulers likhet]],
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0,\,</math>
som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av [[Richard Feynman]] fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: <math>0</math>, <math>1</math>, [[e (matematikk)|<math>e</math>]] som er basisen for de [[Naturlig logaritme|naturlige logaritmene]], den [[Imaginær enhet|imaginære enheten]] <math>i</math> som de komplekse tallene defineres ut fra og {{pi}}. Videre følger for eksempel av [[residysatsen]] for [[kurveintegral]]er at
:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i.</math>

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>

=== Øvrig matematikk ===
* En [[integral (matematikk)|integral]]formel, (se ''[[normalfordeling]]''):
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

* [[Baselproblemet]], først løst av [[Leonhard Euler|Euler]] (se også ''[[Riemanns zeta-funksjon]]''):
:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
:Generelt er <math>\zeta(2n)</math> et rasjonelt multiplum av <math>\pi^{2n}</math> for det positive heltallet <math>n</math>.

* [[Gammafunksjonen]] utregnet ved ½:
:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

* [[Stirlings formel]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

* Egenskapen av [[Eulers phi-funksjon]] (se også ''[[Fareysekvens]]''):
:<math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>