Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

===''p''-adisk absoluttverdi===

For vel over hundre år siden viste [[Kurt Hensel]] at de rasjonale tallene '''Q''' kan utvides til en annen, fullstendig tallkropp som skiller seg sterkt fra de reelle tallene '''R'''. Den kan konstrueres for hvert [[primtall]] ''p'' og betegnes med '''Q'''<sub>''p''</sub>. Grunnantagelsen den bygger på, er definisjonen av en ny absoluttverdi for hvert tall ''x'' i '''Q'''. Fra   [[aritmetikkens fundamentalteorem]] følger at det kan skrives på den generelle formen ''x'' = ''m&sdot;p''<sup>''n''</sup> hvor ''m'' er [[relativt primisk]] med ''p'' og ''n'' er et heltall. Den ''p''-adiske absoluttverdien av dette tallet settes nå til å være

: <math> |mp^n|_p = p^{-n} </math>

sammen med <math> |0|_p = 0</math>. Hvis for eksempel ''x'' = 2<sup>4</sup>&sdot;3&sdot;5<sup>2</sup>, så er |''x''&thinsp;|<sub>2</sub> = 2<sup>-4</sup> = 1/16, |''x''&thinsp;|<sub>3</sub> = 1/3 og |''x''&thinsp;|<sub>5</sub> = 1/25, mens |''x''&thinsp;|<sub>''p''</sub> = 1 for ''p'' &ge; 7. Desto flere [[potens (matematikk)|potenser]] et tall innholder av primtallet ''p'', desto mindre er dets ''p''-adiske størrelse.

Denne nye absoluttverdien oppfyller den ''sterke trekantulikheten''

: <math> |x + y|_p \le \text{max}\{ |x|_p , |y|_p \} </math>

Da  <math> |x\cdot y|_p = |x|_p\cdot|y|_p </math>, er <math> |1|_p = 1</math> som også følger direkte fra definisjonen. Slike tall oppfyller ikke [[Arkimedes' aksiom]] og sies derfor å være ''ikke-arkimediske''. Når <math> |x|_p \ne  |y|_p </math>, kan man anta at  <math> |x|_p >  |y|_p </math> slik at <math> |x + y|_p  \le |x|_p </math>. Samtidig er <math> |x |_p = |x + y - y|_p \le \text{max}\{ |x + y|_p , |y|_p \} =  |x + y|_p. </math> Derfor må man da ha at <math> |x + y|_p =  |x|_p. </math> Størrelsen av en sum er derfor gitt ved det største leddet alene.<ref name = Gouvea/>