Redigerer Maxwell-fordeling (avsnitt)

==Boltzmanns generalisering==
[[Fil:Boltzmann gas column.jpg|thumb|240px|Illustrasjon av hvordan lufttrykket avtar med høyden ''z'' over jorden.]]
Det teoretiske grunnlaget for Maxwell-fordelingen ble spesielt nøye undersøkt av [[Ludwig Boltzmann]]. Allerede i 1868 hunne han utvide denne til å gjelde også for partiklene i en gass som befinner seg i et ytre potensial ''V''('''x'''). Da tar den formen

: <math> f(\mathbf{x},\mathbf{v}) \propto e^{-\beta[m\mathbf{v}^2/2 + V(\mathbf{x})]} </math>

hvor ''&beta;'' = 1/''k<sub>B</sub>T&thinsp;''. Den gir sannsynligheten for å finne en partikkel i posisjon '''x''' med hastighet '''v'''. I argumentet til eksponensialfunksjonen inngår partikkelens totale energi, det vil si summen av dens kinetiske og potensielle energier. Boltzmann kom frem til denne mer generelle fordelingen ved å benytte Maxwells utledning hvor den potensielle energien da vil inngå i uttrykket for energibevarelse ved en kollisjon.<ref name = LB> l. Boltzmnn, ''Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten'', Wiener Bericht '''58''', 517–560 (1868).</ref>

Denne fordelingen til Boltzmann viser at i hvert punkt '''x''' har partiklene i gassen en ren Maxwell-fordeling, uavhengig av påvirkningen til det ytre potensialet. Tilsvarende viser den også hvordan partiklene er fordelt i rommet når man ser bort fra deres hastigheter. For eksempel befinner luftpartiklene seg i potensialet  {{nowrap|''V'' {{=}} ''mgz&thinsp;''}} i en høyde ''z&thinsp;'' der {{nowrap|''g'' {{=}} 9.81 m/s<sup>2</sup>}} er [[tyngdeakselerasjon]]en. Da den resulterende fordelingsfunksjonen kan identifiseres med tettheten av partikler, finner man herav ved bruk av den [[ideell gass|ideelle gassloven]] at lufttrykket avtar med høyden som

: <math> P = P_0\ e^{- mgz/k_B T} </math>

når man antar at temperaturen holder seg konstant. Dette er den [[Hydrostatisk ligning|barometriske trykkformel]].<ref name = Lay/>

For å kunne gjøre sannsynlighetsberegninger med kontinuerlige variable som for eksempel hastigheter, antok Boltzmann at det ville være matematisk fordelaktig å betrakte dem i utgangspunktet som diskrete variable. Senere kunne han så la dem ta kontinuerlige verdier. På det viset kom han frem til å betrakte system med partikler som bare kan ha diskrete energier ''E''<sub>1</sub>, ''E''<sub>2</sub> og så videre. Han kunne så benytte vanlig [[sannsynlighetsregning]] som var godt etablert på den tiden, til å beregne sannsynligheten for å finne en partikkel med energi ''E<sub>a</sub>'' i et slikt system ved termisk likevekt. Den viste seg å være  gitt ved den enkle formelen

: <math> p_a = {1\over Z} e^{-E_a/k_B T} </math>

hvor ''Z''&thinsp; er en normeringsfaktor. Den kalles [[Boltzmann-fordeling]]en og er av grunnleggende betydning i all [[statistisk mekanikk]].