Redigerer Maxwell-Boltzmann statistikk (avsnitt)

===Fri partikkel===
[[Fil: Maxwell, James Clerk – Theory of heat, 1872 – BEIC 12187186.jpg|thumb|200px|Maxwells lærebok om varmeteori fra 1872.]]
En mikrotilstand for en partikkel i [[klassisk mekanikk]] er gitt ved dens posisjonen '''r''' = {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} og [[Bevegelsesmengde|impuls]] '''p''' = {{nowrap|(''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'').}} Dette er alle kontinuerlige variabel slik at en summation over disse tilstandene må erstattes med en [[integral|integrasjon]]. Hvordan dette i detalj skal utføres, ble først avklart ved etablering av kvantemekanikken.  Den sier at  en makrotilstand med energi ''E''('''p''','''r''')  vil inneholde {{nowrap|''g<sub>E</sub>'' {{=}}  ''d''<sup>&thinsp;3</sup>''r''&thinsp;''d''<sup>&thinsp;3</sup>''p''&thinsp;/''h''<sup>&thinsp;3</sup>}} mikrotilstander hvor ''h&thinsp;'' er [[Plancks konstant]].<ref name = Griffiths/>

For en fri partikkel med masse ''m&thinsp;'' er energien ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m&thinsp;'' uavhengig av dens posisjon. Integralet over disse variable gir derfor størrelsen av volumet ''V&thinsp;'' hvor partikkelen befinner seg.  Dens partisjonsfunksjon blir dermed

: <math> Z = {V\over h^3} \int\! d^3p \,e^{- \beta p^2/2m} = {V\over h^3} \left({2\pi m\over\beta}\right)^{3/2} </math>

da det tredimensjonale impulsintegralet er et produkt av tre [[Gauss-integral]]. Det betyr at <math> \ln Z = - (3/2)\ln \beta + \cdots </math> slik at midlere  partikkelenergi <math> E_{mid} = 3/(2\beta) . </math> Fra  [[kinetisk teori]] er det kjent at denne verdien må være <math> (3/2) k_BT </math> slik at man må ha <math> \beta = 1/k_BT .</math> Dette resultatet for parameteren <math> \beta </math> er her utledet for en gass av frie partikler, men må alltid opptre på denne måten uansett hvilket system man beskriver ved Maxwell-Boltzmann statistikk.