Redigerer Magnetostatikk (avsnitt)

==Potensialteori==

På samme måte som for feltet rundt en [[elektrisk felt#Dipolpotensialet|elektrisk dipol]] kan yttrykkes ved et skalart potensial &Phi;, kan feltet rundt en magnetisk dipol '''m''' uttrykkes ved et skalart, magnetisk potensial &Psi;. Defineres dette ved '''H''' = - '''&nabla;'''&thinsp;&Psi;, er da

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = {\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}\over 4\pi r^3}</math>

Da i tillegg  '''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''H''' = 0 må gjelde, oppfyller dette skalarpotensialet [[Laplace-ligning]]en {{nowrap|&nabla;<sup>2</sup>&Psi; {{=}} 0}}. Men i motsetning til det elektriske potensialet som er [[Potensiell energi#Konservative krefter|konservativt]] under stasjonære forhold, gjelder ikke det i allminnelighet for &Psi; da magnetfeltet må oppfylle [[Ampères sirkulasjonslov]] {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}} '''J'''}} under tilsvarende forhold.<ref name = RM/> Mens det elektriske potensialet måles i [[volt]], måles det magnetiske skalarpotensialet i [[ampere]].

I sine originalarbeid viste Ampère hvordan det magnetiske skalarpotensialet for en strømsløyfe ''C'' kan beregnes på en elegant, [[geometri]]sk måte. Da sløyfen er en lukket [[kurve]], kan den tenkes å være randen til en vilkårlig [[flate]] ''S'' som matematisk skrives som ''C'' = &part;''S''. Hvis man tenker seg denne flaten oppdelt i et stort antall mikroskopiske flater ''dS'' som hver omkretses av en strøm ''I'', vil hver av dem være en magnetisk dipol med et mikroskopisk [[magnetisk moment|moment]] ''d''&thinsp;'''m''' = ''I''&thinsp;'''n'''''dS'' hvor enhetsvektoren '''n''' står overalt [[vinkelrett]] på flaten. Da strømmene i slike nærliggende flateelement gjensidig kansellerer hverandre, vil potensialet fra dem alle være lik med potensialet fra hele sløyfen. Det er nå gitt ved integralet

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = I\int\!dS {\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r'})\over 4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3}  </math>

Telleren her er proporsjonal med projeksjonen av flateelementet ''dS'' vinkelrett på vektoren '''r''' - '''r''''. Da denne peker mot punktet '''r''', er integranden proporsjonal med minus romvinkelelementet ''d''&Omega; som flateelementet utgjør sett fra '''r'''. Etter integrasjon over hele flaten blir dermed potensialet ganske enkelt

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = - I{\Omega(\mathbf{r})\over 4\pi} </math>

hvor nå &Omega;('''r''') er [[romvinkel]]en til hele strømsløyfen ''C'' sett fra feltpunktet '''r'''. Dens fortegn er bestemt av enhetsvektoren '''n''' som igjen følger fra strømretningen og [[høyrehåndsregelen]].

For en lukket strømsløyfe kommer det magnetiske skalarpotensialet direkte frem ved bruk av en utvidet versjon av [[Stokes' teorem]] anvendt på [[Biot-Savarts lov]].<ref name = Zangwill/> Det gir

: <math> \mathbf{H}(\mathbf{r}) = I\oint_{C=\partial S}\!{d\mathbf{s} \times (\mathbf{r} - \mathbf{r'})\over 4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} = I\boldsymbol{\nabla}\int_S {d\mathbf{S} \cdot (\mathbf{r'} - \mathbf{r})\over 4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} = {I\over 4\pi}\boldsymbol{\nabla}\Omega (\mathbf{r}) </math>

hvor det vektorielle flateelementet ''d''&thinsp;'''S''' = '''n'''''dS''. Denne utledningen er gyldig forutsatt at feltpunktet '''r''' ikke ligger på flaten ''S'' som har strømsløyfen som rand. Det har sitt opphav i at størrelsen til potensialt &Psi; varierer diskontinuerlig når man passerer denne flaten. Og det er akkurat innholdet av [[Ampères sirkulasjonslov]].

Dette matematiske resultatet til Ampère er kanskje den første indikasjon på at det magnetiske feltet er beskrevet ved den enkleste utgave av en fundamental [[gaugeteori]]. Disse har egenskaper som knytter dem tett til [[geometri]] og [[topologi]].<ref name="AH">I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, ''Gauge Theories in Particle Physics'', Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.</ref>

===Eksempel: Sirkulær strømsløyfe===

En sirkulær strømsløyfe med sentrum i origo og radius ''a'' som ligger i ''xy''-planet, vil fra et punkt på ''z''-aksen utgjøre en romvinkel &Omega;(''z'') som er bestemt av den polare vinkelen ''&theta;''<sub>0</sub> med

: <math> \sin\theta_0 = {a\over \sqrt{a^2 + z^2}} </math>

Romvinkelen er nå arealet av en sirkel på enhetskulen med denne åpningsvinkelen, det vil si

: <math> \Omega(z) = - 2\pi\int_0^{\theta_0}\!d\theta\sin\theta =  2\pi(\cos\theta_0 - 1) </math>

hvor minustegnet kommer fra strømretningen. Det magnetiske feltet blir dermed i dette punktet på aksen til strømsløyfen

: <math> H_z(z) = - {\partial\Psi\over\partial z} = {I\over 2}{\partial\over\partial z}\Big({z\over \sqrt{a^2 + z^2}} -1\Big) = {Ia^2\over 2 (a^2 + z^2)^{3/2}} </math>

Dette er selvsagt i overensstemmelse med hva som følger direkte fra Biot-Savarts lov. I sløyfens sentrum der ''z'' = 0, er magnetfeltet ''H<sub>z</sub>''(0) = ''I''/2''a''.