Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

==Heisenbergs matrisemekanikk==
[[Fil:Heisenbergbohr.jpg|thumb|270px|Heisenberg sammen med [[Niels Bohr]] i 1936 på hans institutt i København.]]
Etter sitt samarbeid med [[Hendrik Kramers]] i 1924-25  ved [[Niels Bohr-instituttet|Bohrs institutt]] i København  for å forstå [[dispersjon (optikk)|opptisk dispersjon]], var [[Heisenberg]] kommet frem at det ville være nytteløst å avdekke egenskapene til atomer ved detaljerte beskrivelser av deres klassiske baner. Man måtte i stedet konsentrere seg om deres [[spektrallinje]]r med målbare frekvenser og intensiteter. Frekvensen til [[foton]]et som sendes ut ved en overgang mellom to tilstander ''m&thinsp;'' og ''n&thinsp;'' måtte være gitt ved Bohrs formel

: <math>  \hbar\omega_{mn}  = E_m - E_n </math>

Likedan måtte intensiteten være gitt ved nye, dynamiske størrelser ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; som erstatter koordinatene til elektronene som foretok en slik overgang. De er i alminnelighet  [[komplekst tall|komplekse]] tall som må oppfylle
<math> x_{mn}^* =  x_{nm} </math>. På samme måte må den klassiske impulsen ''p&thinsp;'' til en partikkel erstattes med tilsvarende variable ''p<sub>mn</sub>''. Istedenfor kontinuerlige variable ''x&thinsp;'' og ''p'' vil derfor den nye kvantemekanikken inneholde en uendelig mange, diskrete variable.<ref name = Longair>M. Longair, ''Quantum Concepts in Physics'', Cambridge University Press, England (2014). ISBN 978-1-107-01709-2.</ref>

[[Max Born]] påpekte at disse nye variable kunne kombineres på samme måte som gjelder ved [[matrise]]multiplikasjon. Det er derfor naturlig å betrakte ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; og ''p<sub>mn</sub>''&thinsp; som komponenter av matriser <math> \hat{x} </math> og <math> \hat{p} </math>. Generelt vil produktet <math>  \hat{x}\hat{p} </math> ikke være likt med  <math>  \hat{p}\hat{x} </math> da det ikke er [[kommutativ lov|kommutativt]]. Derimot må disse to variable oppfylle den fysiske betingelsen

: <math> [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar </math>

når man definerer «kommutatoren» mellom to variable <math> \hat{A} </math> og <math> \hat{B}\;  </math> som
<math>  [\hat{A} , \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} </math>. 
Alle observerbare variable eller '''observable''' vil beskrives ved slike matriser som må være «hermitiske», det vil si at matriseelementene oppfyller <math> A_{mn}^* =  A_{nm} </math> og skrives som <math> \hat{A}^\dagger = \hat{A}.</math> Den hermitisk konjugerte av et produkt bytter om på rekkefølgen av faktorene som sees fra kommutatoren mellom <math> \hat{x} </math> og <math> \hat{p}. </math>

Heisenbergs kvantemekanikk omtales ofte som [[matrisemekanikk]]. Han benyttet den selv til å beregne de kvantiserte energiene til en [[harmonisk oscillator]] og utarbeidet approksimative resultat for en oscillator med et potensial som ikke er helt harmonisk. Sammen med Born og hans assistent [[Pascual Jordan]] ble denne nye formalismen videre utviklet.<ref name = Born/>

===Kvantedynamikk===

En partikkel i det tredimensjonale rommet har en klassisk posisjonsvektor '''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) som kvantemekanisk vil beskrives ved tre matriser <math> \hat\mathbf{x} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) </math> som kommuterer med hverandre. Tilsvarende vil impulsen beskrives ved tre kommuterende matriser <math> \hat\mathbf{p} = (\hat{p}_1,\hat{p}_2,\hat{p}_3) .</math>  Derimot kommuterer ikke koordinatvariable med impulsvaiable, men er gitt ved kommutatoren

: <math> [\hat{x}_a, \hat{p}_b] = i\hbar\, \delta_{ab} </math>

hvor [[Kronecker-delta|Kroneckers deltasymbol]] inngår på høyre side. Det er denne fundamentale antagelsen som definerer den nye kvantemekanikken.

Omtrent samtidig med at Born, Heisenberg og Jordan utarbeidet dens konsekvenser, ga [[Paul Dirac]] den et fundament basert på klassisk [[Hamilton-mekanikk]]. I hans formulering ble ikke de dynamiske variable betraktet som matriser, men abstrakte, ikke-kommuterende objekt som han kalte «''q''-tall» eller ''operatorer'' i motsetning til de klassiske, reelle «''c''-tall». De fundamentale kommutatorene er da gitt mellom koordinatene <math> \hat{x}_a </math> og deres [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|kanonisk konjugerte]] impulser <math> \hat{p}_a .</math> En kvantemekanisk kommutator mellom to dynamisk variable <math> \hat{A} = A(\hat\mathbf{x},\hat\mathbf{p}) </math> og <math> \hat{B} = B(\hat\mathbf{x},\hat\mathbf{p}) </math>  skal ha samme form som den klassiske [[Hamilton-mekanikk#Poisson-klammer|Poisson-klammen]] ved at

: <math> [\hat{A},\hat{B}] \rightarrow i\hbar\, [\!A(\mathbf{x},\mathbf{p}), B(\mathbf{x},\mathbf{p})]_{PB}  </math>

hvor høyresiden kan regnes ut på vanlig vis ved derivasjon. Denne sammenhengen mellom kvantemekanikk og klassisk mekanikk er et matematisk uttrykk for [[Bohrs atommodell#Klassisk grense|Bohrs korrespondanseprinsipp]] som Heisenberg benyttet på en ganske annen måte i sitt arbeid.<ref name = Longair/>

Bevegelsen til en partikkel med masse ''m&thinsp;'' som beveger seg i et potensial ''V''('''x''') kan nå finnes ved å ta utgangspunkt i den klassiske [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|Hamilton-funksjonen]]. Kvantemekanisk gir den opphav til [[Hamilton-operator]]en

: <math> \hat{H} =  {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\hat\mathbf{x}) </math>

som bestemmer hvordan partikkelen beveger seg med tiden. Denne dynamiske utviklingen er nå gitt ved operatorligningene

: <math>  i\hbar{d\hat\mathbf{x}\over dt} = [\hat\mathbf{x}, \hat{H}], \;\;  i\hbar{d\hat\mathbf{p}\over dt} = [\hat\mathbf{p}, \hat{H}]   </math>
De har samme form som de klassiske Hamilton-ligningene uttrykt ved Poisson-klammer. En observabel som kommuterer med Hamilton-operatoren, vil forbli konstant under denne dynamiske utviklingen.

Derivasjon av produkt med tidsavhengige observable følger i det enkleste tilfellet fra regelen

: <math> {d\over dt}( \hat{A}\hat{B}) = {d\hat{A}\over dt} \hat{B}  + \hat{A} {d\hat{B}\over dt}</math>

Den inverse av operatören <math> \hat{A} </math> skrives som <math> 1/\hat{A}  =  \hat{A}^{-1} </math>  og er definert ved at <math> \hat{A} \hat{A}^{-1} =  \hat{A}^{-1} \hat{A} = 1. </math>  Ved å derivere begge sidene av denne sammenhengen, finner man at

: <math> {d\over dt}  \hat{A}^{-1}  = -   \hat{A}^{-1} {d\hat{A}\over dt}  \hat{A}^{-1}   </math>

På tilsvarende vis blir  <math>  (\hat{A}\hat{B})^{-1} = \hat{B}^{-1}\hat{A}^{-1}.  </math> Denne reversering av rekkefølgen skjer også ved hermitsik konjugering av slike produkt.

Når potensialet som partikkelen beveger seg i, kun avhenger av avstanden ''r&thinsp;'' til origo, sies det å være  ''sentralsymmetrisk''. Klassisk er denne avstanden gitt ved ''r''<sup>&thinsp;2</sup> = ''x<sub>a</sub>x<sub>a</sub>'' når man summerer over de to like indeksene. Ved å benytte identiteten <math> [\hat{A}, \hat{B} \hat{C}] =  \hat{B}[\hat{A}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{B}] \hat{C}, </math> finner man nå kommutatoren

: <math> [\hat\mathbf{p}, \hat{r}^2] =  \hat{x}_a[\hat\mathbf{p}, \hat{x}_a] + [\hat\mathbf{p}, \hat{x}_a] \hat{x}_a = - 2i\hbar\hat\mathbf{x} </math>

Dette kan videreutvikles til å gi <math>  [\hat\mathbf{p}, \hat{r}^n] = - ni\hbar \hat{r}^{n-2}\hat\mathbf{x}\, </math> som man kan ta som gyldig for alle verdier av ''n'', positive og negative. Generelt har man at

: <math> [\hat\mathbf{p}, V(\hat{r})] = - i\hbar V'(\hat{r}) {\hat\mathbf{x}\over\hat{r}} </math>

hvor impulsoperatoren virker som derivasjonsoperatoren <math>\hat\mathbf{p} = -i\hbar\partial/\partial\hat\mathbf{x}</math> i en kommutator. Denne formelle ekvivalensen kan forenkle mange praktiske beregninger med disse kvantemekaniske variable.<ref name = MIT>M. Born, ''Problems of Atomic Dynamics'', MIT Press, Massachusetts (1970). ISBN 0-262-52019-2. Forelesninger ved [[MIT]] 1925-26.</ref>

===Kvantisering av dreieimpuls===

Når partikkelen har en impuls '''p''', har den samtidig en [[dreieimpuls]] <math> \mathbf{L} = \mathbf{x} \times \mathbf{p} </math> om origo. Kvantemekanisk gir det opphav til matrisene <math>  \,\hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{x} \times\hat\mathbf{p}. </math> Fra definisjonen av [[vektorprodukt]]et kan man skrive de tre komponentene som <math> \hat{L}_a = \varepsilon_{abc} \hat{x}_b\hat{p}_c </math> ved bruk av [[Levi-Civita-symbol]]et og summerer over de to like indeksene på høyre side.

Ved direkte utregning finner man kommutatoren <math>  [\hat{L}_a, \hat{x}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{x}_c </math> og den tilsvarende <math>  [\hat{L}_a, \hat{p}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{p}_c  </math>  som er typisk for kommutatoren med alle vektoroperatorer. Kombineres disse to uttrykkene, får man <math>  [\hat{L}_a, \hat{L}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{L}_c </math>  som alternativt kan skrives som

: <math> \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{L} = i\hbar\,\hat\mathbf{L}.  </math>

Denne matematiske sammenhengen gir grunnlaget for all [[Matrisemekanikk#Kvantisering av spinn|kvantisering av spinn]] hvor man med [[spinn]] mener ikke bare orbital dreieimpuls som er benyttet her, men alle sammenhenger hvor man har tre variable som oppfyller <math> \hat\mathbf{S} \times \hat\mathbf{S} = i\hbar\,\hat\mathbf{S}.  </math> Da slike spinnmatriser ikke kommuterer med hverandre, kan de ikke diagonaliseres samtidig. Men da kommutatoren mellom én av dem og det totale spinnet <math> \hat{\mathbf{S}}^2 = \hat{S}_1^2 +  \hat{S}_2^2 +  \hat{S}_3^2 </math> er null, kan egenverdiene til disse to bestemmes. Man finner da

: <math> \hat\mathbf{S}^2  = s(s +1)\hbar^2  </math>

hvor [[kvantetall]]et ''s'' kan ta verdiene 0, 1/2, 1, 3/2, 2 og så videre. Kvantemekanisk er derfor spinn alltid kvantisert og kan generelt ta halvtallige verdier. For vanlig, orbital dreieimpuls opptrer bare heltallige verdier.<ref name = Bohm/>

For en partikkel i et sentralpotensial ''V''(''r'') er det orbitale spinnet en bevart størrelse. Det følger fra kommutatoren

: <math> [\hat{L}_a,\hat\mathbf{p}^2] = [\hat{L}_a,\hat{p}_b\hat{p}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}(\hat{p}_b\hat{p}_c +  \hat{p}_c\hat{p}_b) = 0 </math>

da Levi-Civita-symbolet er antisymmetrisk i alle sine indekser. I tillegg er

: <math> [\hat{L}_a, V(\hat{r})] = \varepsilon_{abc} [\hat{x}_b\,\hat{p}_c, V(\hat{r})] = \varepsilon_{abc} \hat{x}_b[\hat{p}_c, V(\hat{r})] = -i\hbar\, \varepsilon_{abc} {\hat{x}_b \hat{x}_c\over\hat{r}}V'(\hat{r}) = 0 </math>

av samme grunn. Dermed er kommutatoren med Hamilton-operatoren <math>  [\hat\mathbf{L},\hat{H}] = 0 </math> og den kvantiserte dreieimpulsen forblir konstant.

Vanlig [[vektoranalyse]] kan  opplagt ikke uten videre benyttes for slike ikke-kommuterende variable. For eksempel finner man fra den fundamentale kommutatoren at

: <math> \hat\mathbf{x}\cdot(\hat\mathbf{p}\times\hat\mathbf{L}) = \hat\mathbf{L}^2\!, \; \text{mens}  \;\;(\hat\mathbf{p}\times\hat\mathbf{L})\cdot \hat\mathbf{x} = \hat\mathbf{L}^2 + 2i\hbar\,\hat\mathbf{p}\cdot\hat\mathbf{x} </math>

For en partikkel i et generelt potensial finnes det derfor ingen enkel måte å beregne de kvantemekaniske egenskapene i denne formuleringen av teorien.<ref name = Weinberg>S. Weinberg, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, England (2015). ISBN 978-1-107-11166-0.</ref>

===Hydrogenatomet===
Den nye kvantemekanikken ville ikke ble akseptert før den kunne forklare [[linjespektrum|linjespektret]] til [[hydrogen]] minst like godt som i [[Bohrs atommodell]]. Allerede høsten 1925 lyktes [[Wolfgang Pauli]] med det ved å gjøre bruk av den spesielle [[Runge-Lenz-vektor]]en. Den opptrer i [[tolegemeproblem|topartikkelsystem]] som blir holdt sammen av et [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-potensial]] på formen {{nowrap|''V''(''r''&thinsp;) {{=}} -''k''/''r&thinsp;''}} hvor ''k'' er en konstant avhengig av de elektriske ladningene til partiklene. Hamilton-operatoren for [[Hydrogenatom#Kvantemekanisk løsning|hydrogenatomet]] er derfor

: <math> \hat{H} = {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} - {k\over\hat{r}} </math>

På samme måte som den bevarte dreieimpulsen <math>\mathbf{L} </math> blir en vektoroperator <math>  \,\hat\mathbf{L} , </math> blir Runge-Lenz-vektoren <math>\mathbf{A} </math> en tilsvarende vektoroperator <math>\hat\mathbf{A}. </math> 
Den kan kvantiseres på lignende måte som dreieimpulsen ved å gjøre bruk av de nye kommutatorene <math>  [\hat{L}_a, \hat{A}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{A}_c </math> og <math> [\hat{A}_a, \hat{A}_b]  = - 2m\hat{H} i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c .</math>
Energien til atomet kan  dermed finnes fra sammenhengen

: <math>  \hat\mathbf{A}^2 = m^2k^2 + 2m\hat{H}( \hat\mathbf{L}^2 + \hbar^2 ) </math>

som er den samme som i klassisk mekanikk når man ser bort fra det siste leddet med Plancks konstant. Dette gir de kvantiserte energinivåene

: <math> E = - {m\over 2\hbar^2} {k^2 \over (2j +1)^2} </math>

hvor spinnkvantetallet  ''j'' = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Med {{nowrap|''k'' {{=}} ''e''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>}} er dette i full overensstemmelse med [[Bohrs atommodell#Diskrete energinivå|Bohrs resultat]] der hovedkvantetallet ''n'' = 2''j'' + 1 = 1, 2, 3 og så videre.<ref name = Pauli>W. Pauli, ''Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik'',  Zeitschrift für Physik '''36''' (5), 336–363 (1926). [http://sphics.com/tc/201801-SIU-P530A/files/Pauli-1926-On-the-spectrum-of-hydrogen-atom--English-translation.pdf PDF]</ref>

Omtrent samtidig med at Pauli gjennomførte denne beregningen, klarte også [[Dirac]] å utlede samme resultat for hydrogenatomet ved bruk av sin operatorformulering. Han gjorde ingen eksplisitt bruk av Runge-Lenz-vektoren, men forenklet i stedet problemet ved å beskrive den klassiske bevegelsen til elektronet i et plan. Kvantiseringen involverer dermed færre operatorer og kan igjen gjøres rent algebraisk.<ref>P.A.M. Dirac, [https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.1926.0034 ''Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom''], Proc. Roy. Soc. '''A110''', 561-579 (1926).</ref>