Redigerer Koordinatsystem (avsnitt)

==Krumlinjete koordinater==
[[Fil:3D Spherical.svg|thumb|280px|Kulekoordinater angir et punkt ''P'' ved retningen (''&theta;,&phi;'') og avstanden ''r''.]]
I det samme, euklidske rommet kan man også uttrykke de kartesiske koordinatene ''x<sup>m</sup>&thinsp;'' ved mer generelle koordinater ''x<sup>&mu;</sup>''. Slike koordinattransformasjoner vil i alminnelighet være ikke-lineære slik at de nye koordinatlinjene er [[kurve#Normalvektor og krumning|krumme]]. De kalles derfor for [[krumlinjete koordinater]]. Et typisk eksempel i tre dimensjoner er [[kulekoordinater]] eller «sfæriske koordinater» definert ved transformasjonen

: <math>x=r \sin\theta \, \cos\varphi</math>
: <math>y=r \sin\theta \, \sin\varphi</math>
: <math>z=r \cos\theta</math>

En ''r''-koordinatlinje er en rett [[linje]] gjennom origo, mens ''&theta;-'' og ''&phi;-''koordinatlinjer er sirkler på samme måte som [[breddegrad]] og [[lengdegrad]].

Fra koordinattransformasjonene ''x<sup>m</sup> = x<sup>m</sup>''(''x<sup>&mu;</sup>''&thinsp;) kan man direkte beregne tangentvektorene til koordinatlinjene. De kan benyttes som en ny vektorbasis som igjen kan skrives som {{nowrap|'''e'''<sub>''&mu;''</sub> {{=}} '''e'''''<sub>m</sub>A<sup>m</sup><sub>&mu;</sub>''}}. Men nå vil transformasjonsmatrisen {{nowrap|''A<sup>m</sup><sub>&mu;</sub>'' {{=}} &part;''x<sup>m</sup>''/&part;''x<sup>&mu;</sup>''&thinsp;}} variere fra punkt til punkt i rommet slik at basisvektorene overalt vil ha forskjellige retninger. For eksempel, med kulekoordinater blir

:<math>\begin{align}
\mathbf{e}_r  &= \sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{e}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{e}_y + \cos\theta\,\mathbf{e}_z \\
\mathbf{e}_\theta  &= r\cos\theta\,\cos\varphi\,\mathbf{e}_x  + r\cos\theta\,\sin\,\varphi\,\mathbf{e}_y - r\sin\theta\,\mathbf{e}_z\\
\mathbf{e}_\varphi &= -r\sin\theta\sin\varphi\,\mathbf{e}_x  + r\sin\theta\cos\,\varphi\,\mathbf{e}_y \\
\end{align} </math>

Basisvektoren '''e'''<sub>''&theta;''</sub>&thinsp; og '''e'''<sub>''&phi;''</sub>&thinsp; er [[vinkelrett|ortogonale]] tangentvektorer til en kule med radius ''r'', mens '''e'''<sub>''r''</sub>&thinsp; står normalt på kuleflaten i radiell retning.

På samme måte som med skjevvinklete koordinater kan komponentene til en vektor finnes i dette nye koordinatsystemet. Avstander og skalare produkt mellom vektorer er igjen gitt ved en metrikk {{nowrap|''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' {{=}} '''e'''<sub>''&mu;''</sub>&sdot;'''e'''<sub>''&nu;''</sub>}}. Fra basisvektorene i kulekoordinater kan komponentene beregnes og samles i matrisen

: <math>g_{\mu\nu}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta
\end{bmatrix} </math>

I dette tilfellet er matrisen diagonal da basisvektorene står vinkelrett på hverandre. Ved hjelp av denne metrikken kan kovariante komponenter av vektorer beregnes. Alternativt kan de også finnes fra den inverse transformasjonen ''x<sup>&mu;</sup> = x<sup>&mu;</sup>''(''x<sup>m</sup>'')&thinsp; som kan benyttes til å etablere en dual basis.