Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Den prinsipale funksjonen==

Det tidsforløpet som systemet får fra løsningen av Euler-Lagrange-ligningene, kalles den ''klassiske'' bevegelsen. Fra definisjonen kan man direkte beregne den tilsvarende virkningen som derved blir en funksjon som avhenger av sluttpunktet ''(q,t)'' for bevegelsen samt koordinatene til begynnelsespunktet ''q<sub>0</sub>&thinsp;''. Denne klassiske virkningen ''S = S(q,t,q<sub>0</sub>&thinsp;)'' ble av Hamilton kalt for ''den prinsipale funksjonen''. Fra definisjonen følger direkte at ''dS/dt = L'' slik at

: <math> {\partial S\over \partial t} + {\partial S\over\partial q}\cdot \dot{q} = L </math>

Den deriverte ''&part;S&thinsp;/&part;q'' kan finnes ved å betrakte to nærliggende, klassiske bevegelser som starter i samme punkt, men ender i to nærliggende punkt separert med ''&delta;q'' ved et senere tidspunkt ''t''. Disse to bevegelsene vil ha litt forskjellig, klassisk virkning ''&delta;S'' som kan leses ut fra den opprinnelige variasjonsregningen som ga Euler-Lagrange-ligningen. Kun randleddet vil nå bidra slik at ''&delta;S = p&sdot;&delta;q'' som betyr at

: <math> {\partial S\over\partial q_n} = p_n </math>

Innsatt i uttrykket over, betyr det at

: <math> {\partial S\over\partial t} = L - p\cdot\dot{q} = - H </math>

som følger fra definisjonen av Hamilton-funksjonen ''H = H(q,p,t)''. Uttrykker man i denne impulsen som den deriverte ''&part;S&thinsp;/&part;q'', fremkommer dermed differensialligningen

: <math> H\Big(q,{\partial S\over\partial q},t\Big) + {\partial S\over\partial t} = 0 </math>

Løsningen av denne vil gi den prinsipale funksjonen og dermed all informasjon om bevegelsen. Hvordan dette er mulig, ble først avklart 1842 - 1843 av den tyske matematiker [[Carl Gustav Jacob Jacobi]]. Den kalles derfor for '''Hamilton-Jacobi-ligningen'''.