Redigerer Gravitasjonspotensial (avsnitt)

==Kontinuerlig massefordeling==
[[Fil:MogCampoGrav26.7.jpg|thumb|300px|Potensialet i punktet '''r''' får bidrag fra alle mikroskopiske masser ''dm'&thinsp;'' i punkt '''r'&thinsp;''' innen den kontinuerlige massefordelingen.]]
Med mange masser ''m<sub>i</sub>&thinsp;'' i posisjoner '''r'''<sub>''i''</sub> er gravitasjonspotensialet i et punkt '''r''' gitt som summen av potensialene fra hver enkelt masse,

: <math> \Phi(\mathbf{r}) = - \sum_i {Gm_i\over |\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|} </math>

Når alle disse enkeltmassene utgjør en kontinuerlig massefordeling med tetthet ''&rho;'', kan hver av dem erstattes med den infinitesemale massen {{nowrap|''dm'&thinsp;'' {{=}} ''&rho;''('''r'''')''dV'&thinsp;''}} i volumelementet ''dV'&thinsp;'' som befinner seg i '''r''''. Summen over enkeltmassene kan nå erstattes av en  [[integrasjon]] slik at potensialet i et vilkårlig punkt er gitt som

: <math> \Phi(\mathbf{r}) = - \int\!d^3x' {G\rho(\mathbf{r'}) \over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Denne generelle formelen er også gyldig når punktet '''r''' ligger inni den kontinuerlige massefordelingen.<ref name = Tipler/>

En mikroskopisk versjon av samme ligning kan finnes ved å bruke den fundamentale egenskapen

: <math> \nabla^2 {1\over  |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math>

til [[Laplace-operator]]en &nabla;<sup>2</sup> hvor på høyre side [[Diracs deltafunksjon]] inngår.<ref name = Boas> M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref>  Gravitasjonspotensialet i det generelle tilfellet tilfredsstiller derfor [[Poisson-ligning|Poissons ligning]]

: <math> \nabla^2  \Phi(\mathbf{r}) = 4\pi G \rho(\mathbf{r}) </math>

som er Newtons gravitasjonslov på differensiell form. Det er på denne formen den følger fra [[Einsteins feltligning]] i [[generell relativitetsteori]] når denne anvendes i [[klassisk mekanikk|Newtonsk mekanikk]].<ref name = Hartle> J.B. Hartle, ''Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity'', Addison-Wesley, San Francisco (2003). ISBN 0-8053-8662-9.</ref>

===Massiv kule===
[[Fil:GaussSphere.svg|left|thumb|Gravitasjonsfeltet både inni ''r < R&thinsp;'' og utenfor ''r'''  > ''R&thinsp;'' en sfærisk symmetrisk massefordeling kan beregnes eksakt og er overalt rettet inn mot kules sentrum.]]

Gravitasjonspotensialet innenfor og utenfor en massive kule med konstant tetthet ''&rho;'' kan lett finnes fra [[Newtons skallteorem]]. Det er ekvivalent med å løse differensialligningen for gravitasjonspotensialet for denne sfæriske geometrien hvor [[Laplace-operator]]en må uttrykkes i [[kulekoordinater]]. Ligningen som må løses, er derfor

: <math> {1\over r^2}{\partial\over\partial r}\Big(r^2{\partial\Phi\over\partial r}\Big) = 4\pi G\rho  </math>

Utenfor kulen hvor massetettheten ''&rho;'' = 0, finner man herav at ''r''<sup>&thinsp;2</sup>(&part;&Phi;/&part;''r'') må være lik en konstant. Kaller man den for ''GM'', varierer derved potensialet utenfor kulen som {{nowrap|&Phi; {{=}} - ''GM''/''r''}}. Det tilsvarer et potensial fra en punktmasse ''M'' i kulens sentrum som er innholdet av skallteoremet i dette tilfellet.

På samme måte finner man at inni kulen i en avstand ''r&thinsp;'' fra dens sentrum at differensialligningen etter en integrasjon forenkles til {{nowrap|&part;&Phi;/&part;''r'' {{=}} (4''&pi;&thinsp;G''/3)''&rho;r''.}} Tettheten er her gitt ved den totale massen som {{nowrap|''&rho;'' {{=}} ''M''/(4''&pi;R''<sup>3</sup>/3)}}. Gravitasjonspotensialet i dette området er derfor

: <math> \Phi(r) = {2\over 3}\pi\rho G r^2 + \Phi_c </math>

hvor integrasjonskonstanten &Phi;<sub>''c''</sub> må bestemmes ut fra kravet at potensialet nær overflaten av kulen skal gå kontinuerlig over til verdien  {{nowrap|&Phi;(''r {{=}} R'') {{=}} - ''GM''/''R''}} like utenfor denne. Det gir &Phi;<sub>''c''</sub> = - 2''&pi;&rho;GR''<sup>2</sup> slik at

:<math>\Phi(r) = \frac {2}{3} \pi\rho G (r^2 - 3R^2),\qquad r\leq R,</math>

i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet fra [[Newtons skallteorem]].