Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

==Hyperbolsk plan==

I praktiske anvendelser er det vanligvis ikke nødvendig å bestemme eller kjenne Christoffel-symbolene. De tilsvarende Euler-Lagrange-ligningene gir disse automatisk. Som en illustrasjon kan man beregne de geodetiske kurvene i det [[hyperbolsk geometri|hyperbolske planet]]. Ved bruk av polarkoordinater kan det beskrives ved metrikken 

: <math> ds^2 = dr^2 + \sinh^2\! r\, d\phi^2 </math>

når den radielle koordinaten gjøres dimensjonsløs. En sirkel med sentrum i origo og radius ''r''&thinsp; har derfor omkretsen 2''&pi;''&thinsp;sinh''r''. Forholdet mellom denne og radius er derfor ikke konstant i dette planet, men er alltid større enn 2''&pi;&thinsp;''.

Energifunksjonen for en kurve med affin parametrisering i det hyperbolske plan er nå <math> E = (1/2)(\dot{r}^2 + \sinh^2\! r\,\dot{\phi}^2) </math>. Da den er uavhengig av vinkelen ''&phi;'', er denne en syklisk variabel. Derfor er <math> \partial E/\partial\dot{\phi} = \sinh^2r\dot{\phi} </math> en konstant som man kan kalle ''k''. Euler-Lagrange-ligningen for denne variable gir derfor

: <math> \dot{\phi} = {k\over\sinh^2r}, </math>

mens den radielle variable må oppfylle den mer kompliserte ligningen

: <math> \ddot{r} = \sinh r\cosh r\, \dot{\phi}^2 . </math>

Ved å betrakte denne variable som en funksjon av ''&phi;'', kan man sette

: <math> {d\over ds} = {k\over\sinh^2r}{d\over d\phi} </math>

Den radielle Euler-Lagrange-funksjonen tar da formen

: <math> {d\over d\phi} \left({1\over\sinh^2r}{dr\over d\phi}\right) = \coth r  </math>

Den forenkles ved å innføre ''u'' = coth''r''&thinsp; som fører til

: <math> {d^2u\over d\phi^2} + u = 0 </math>

som er den [[harmonisk oscillator|harmoniske svingeligningen]]. Den generelle løsningen kan skrives som ''u'' = (1/''b'')&thinsp;cos(''&phi; - &phi;''<sub>0</sub>)&thinsp; hvor ''b'' og ''&phi;''<sub>0</sub>&thinsp; er integrasjonskonstanter. En geodetiske linje i det hyperbolske planet vil derfor ha formen

: <math> \tanh r\cos(\phi - \phi_0) = b </math>

i polarkoordinater. Den vil ikke se ut som en rett linje når den blir plottet på et stykke papir bortsett fra for små verdier av ''r''. Samme fenomen er kjent i all [[kartografi]] når en krum flate avbildes på et plan.

===Poincaré-koordinater===

I [[Poincarés modell]] for det hyperbolske planet avbildes det til øvre halvdel av ''xy''&thinsp;-&thinsp;planet med metrikken

: <math> ds^2 = {dx^2 + dy^2\over y^2} </math>

Den tilsvarende energien <math> E = (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)/2y^2 </math> er uavhengig av koordinaten ''x'' slik at <math> \partial E/\partial\dot{x} = \dot{x}/y^2 </math> er lik med en konstant ''k''. Med naturlig parametrisering er {{nowrap|''E'' {{=}} 1/2}} slik at man med en gang får den andre Euler-Lagrange-ligningen på formen

: <math> {dy\over dx} = {1\over ky} \sqrt{1 - k^2y^2} </math>

Etter en direkte integrasjon gir den ligningen 

: <math> (x - a)^2 + y^2 = {1\over k^2} </math>
hvor ''a&thinsp;'' er en integrasjonskonstant, for de geodetiske linjene. Disse består derfor av halvsirkler i det øvre halvplanet med sine sentra på ''x''-aksen.