Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

==Projektivt plan==
[[Fil:Boyflaeche.JPG|thumb|300px|Kunstnerisk fremstilling av det projektive planet.]]

Definisjon av [[projektiv geometri]] gjøres enklest ved at den betraktes i et rom med en dimensjon ekstra. Slik kan et [[projektivt plan]] som er todimensjonalt, beskrives ved rette linjer som går gjennom origo i et tredimensjonalt, euklidsk rom '''R'''<sup>3</sup>. Hver [[linje]] tilsvarer et punkt i det projektive planet og er gitt ved en retningsvektor {{nowrap|'''r''' {{=}} (''x,y,z'')}}. Disse komponentene kan derfor brukes som koordinater for punkter i planet. Da det kun er retningen til linjen som er bestemmende og ikke dens lengde, vil vektoren '''x''' og ''&lambda;'''''x''' der ''&lambda;'' er en konstant, tilsvare samme punkt. Disse retningene er derfor [[Projektivt plan#Homogene koordinater|homogene koordinater]] i denne todimensjonale geometrien.

Dette kan synliggjøres ved å tenke seg et plan lagt inn '''R'''<sup>3</sup>. Punktene til det projektive planet tilsvarer da de punkter hvor linjene gjennom origo treffer dette ekstra planet. Linjer som er parallelle med det,  vil ikke gi opphav til noe skjæringspunkt og sies å ligge uendelig lang borte i denne fremstillingen. Men de kan tas med ved å velge et annet slikt hjelpeplan.

For elliptiske geometrier kan man i stedet for et slikt ekstra hjelpeplan, legge inn en vanlig sfære i det tredimensjonale rommet '''R'''<sup>3</sup>. Punkt i det projektive planet angir da  punkt på kuleflaten. Men da det kun er retningen til linjene gjennom origo som er avgjørende, vil to diametralt motsatte punkt på kuleflaten tilsvare samme punkt i det projektive planet. På den måten er denne projektive geometrien tett knyttet til den for det enkeltelliptiske planet.

===Cayley-Klein-metrikk===

En projektiv geometri har i utgangspunktet ingen metriske egenskaper. Men på midten av 1800-tallet viste [[Arthur Cayley]] at dette kan realiseres ved at man tenker seg at det projektive planet inneholder et ''absolutt'' [[kjeglesnitt]] bestående av ikke-tilgjengelige eller ''ideelle'' punkt. Da en linje i planet vil skjære denne kurven i to punkt, kan avstanden mellom to andre punkt på samme linje bestemmes ut fra [[dobbeltforhold]]et til disse fire punktene.<ref name = Faulkner>T.E. Faulkner, ''Projective Geometry'', Dover Publications, New York (2006). ISBN 0-486-45326-X.</ref>

Noen år senere benyttet [[Felix Klein]] denne innsikten til gi en ny beskrivelse av [[hyperbolsk geometri]]. På enkleste form er da det absolutte kjeglesnittet gitt ved ligningen

: <math> x^2 + y^2 - z^2 = 0 </math>

I et hjelpeplan ''z'' = 1 tilsvarer det en sirkel om origo. Alle punktene i denne plangeometrien ligger nå innenfor denne sirkelen. Deres metriske egenskaper kan da beregnes og er gitt med [[Cayley-Klein-metrikk]]en. Den stemmer overens med hva som ble tidligere funnet av  [[Janos Bolyai|Bolyai]] og [[Nikolaj Lobatjevskij|Lobatjevskij]].

Den andre typen av kjeglesnitt i planet er av formen

: <math> x^2 + y^2 + z^2 = 0 </math>

som ikke inneholder noen vanlige, [[reelt tall|reelle]] punkt. Men likevel gir den en reell Cayley-Klein-metrikk for det elliptiske planet i overenstemmelse med hva som var etablert på andre måter.<ref name = Bonola/>