Redigerer Elektrisk felt (avsnitt)

==Differensiell form av Gauss' lov==

Det lukkete flateintegralet som inngår på venstre side av Gauss' lov, kan omskrives ved bruk av [[divergensteoremet]]. Det sier at

: <math> \oint_S d\mathbf{S}\cdot \mathbf{E}(\mathbf{x})  = \int dV\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{x})   </math>

hvor ''V&thinsp;'' er volumet som flaten ''S&thinsp;'' omslutter. Men den totale ladningen ''Q&thinsp;'' som denne flaten omslutter, kan også skrives som et volumintegral over den elektriske ladningstettheten ''&rho;''('''x'''),

: <math> Q =  \int dV\,\rho(\mathbf{x})  </math>

Begge sider av loven er dermed gitt ved integral over det samme volumet. Siden dette kan velges fritt, må de to integrandene være de samme. Det betyr at

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{x}) = {1\over\varepsilon_0}\rho(\mathbf{x})  </math>

som må gjelde i hvert punkt i rommet. Dette er den «lokale» eller differensielle formen av Gauss' lov. Den sier at hver feltlinje starter på en positiv ladning og ender på en tilsvarende negativ ladning.<ref name = HR/>

Når feltet er radielt rettet i tre dimensjoner, må divergensen regnes ut i [[kulekoordinater]]. Da kan [[divergens]]en skrives som

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E} = {1\over r^2}{\partial \over\partial r} (r^2 E) = {\partial E\over\partial r} + {2\over r}E </math>

For den ladete kulen med ''E'' = ''&rho;r''/3''&epsilon;''<sub>0</sub>, blir da '''&nabla;&thinsp;'''&sdot;&thinsp;'''E''' = ''&rho;''/''&epsilon;''<sub>0</sub>&thinsp; som forventet. Samme formel gir også at denne divergensen er null utenfor kulen hvor feltet varierer som {{nowrap|1/''r''<sup>&thinsp;2</sup>}}.

===Punktladning===

En matematisk [[Kontinuitetsligning#Punktpartikler|punktladning]] i punktet '''r'''' har en ladningstetthet som er uendelig stor i dette punktet og null utenfor slik at integralet over hele ladningsfordelingen gir en totalladning ''q''. Dette tilsvarer definisjonen av [[Diracs deltafunksjon]] som tillater å skrive en slik ladningstetthet som

: <math> \rho(\mathbf{r}) = q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math>

Da det elektriske feltet fra denne ladningen er gitt ved Coulomb-feltet, gir Gauss' lov den matematiske sammenhengen

: <math> \boldsymbol{\nabla}\cdot {\mathbf{r} - \mathbf{r'}\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) </math>

Den opptrer i mange sammenhenger både i [[elektrostatikk]]en og [[magnetostatikk]]en.