Redigerer Eksponentiell vekst (avsnitt)

===Kontinuerlig vekst===
[[Fil:2^x function graph.PNG|thumb|280px|Grafisk fremstilling av [[eksponentialfunksjon]]en med grunntall ''g'' = 2.]]
Antallet i en eksponentielt voksende mengde øker som ''N<sub>n</sub>'' = ''N''<sub>0</sub>&thinsp;''g<sup>&thinsp;n</sup>'' etter ''n'' generasjoner fra det opprinnelige tidspunktet da antallet var ''N''<sub>0</sub>. Vekstfaktoren ''g'' sier hvordan antallet i populasjonen øker hver gang i løpet av et tidsintervall ''T''. Det kan være en time eller en uke avhengig av hvilken prosess man beskriver. Istedenfor å benytte antall generasjoner ''n'' som et itdsmål, kan man derfor like så godt benytte tidspunktet  {{nowrap|''t {{=}} nT''&thinsp;}} når ''n''-te generasjon opptrer. Da kan de diskrete antallene ''N<sub>n</sub>'' erstattes med den kontinuerlige funksjonen ''N''(''t'') definert ved

: <math>  N_n \rightarrow N(t) = N(nT) = N_0 g^n  = N_0 g^{t/T} </math>

Dette er en [[eksponentialfunksjon]] med grunntall ''g''. Det er en kontinuerlig funksjon som kan benyttes for alle tidspunkt ''t'', også for de som ikke er et helt multiplum av tidsintervallet ''T'' som definerer vekstraten.<ref name = Lindstrøm/>

For en viss vekstfaktor ''g'' = 1 + ''r''&thinsp; kan man herav finne hvor lang tid ''t''<sub>2</sub>&thinsp; det tar for en fordobling av populasjonen. Den er definert ved 
{{nowrap|''N''(''t''<sub>&thinsp;2</sub>) {{=}} 2''N''<sub>0</sub>}} og kalles  '''fordoblingstiden'''. Det betyr at {{nowrap|''g''<sup>&thinsp;''t''<sub>2</sub>/''T''</sup> {{=}} 2&thinsp;}} eller

: <math> {t_2\over T} = {\ln 2\over \ln g} = {\ln 2\over \ln (1 + r) } </math>

Her er  den [[naturlig logaritme|naturlige logaritme]] ln&thinsp;2 = 0.69, og man kan tilnærmet sette ln(1 + ''r''&thinsp;) = ''r''&thinsp; når vekstraten ''r'' << 1. Dermed kan man anslå fordoblingstiden fra formelen  {{nowrap|''t''<sub>&thinsp;2</sub> {{=}}  0.69/''r''&thinsp;}} når den måles i enheter av tidsperioden ''T'' som er implisitt inneholdt i vekstraten ''r''.

Antas at en [[pandemi]] som [[Covid-19]] har en vekstrate på {{nowrap|''r'' {{=}} 12%}} per dag i begynnelsesfasen, vil antall smittede derfor dobles etter tilnærmet {{nowrap|''t''<sub>&thinsp;2</sub> {{=}} 0.69/0.12}} = {{nowrap|6 dager}}. En mer fullstendig beskrivelse av tidsutviklingen finnes i [[SIR-modell]]en. Samme formel for eksponentiell vekst gir at et beløp på en sparekonto i en bank som tilbyr en rente  {{nowrap|''r'' {{=}} 3%}} per år, vil først fordobles etter 0.69/0.03 = 23&thinsp;år.