Redigerer Drude-modell (avsnitt)

==Varmeledning==

I Drude-modellen skyldes [[varme]]n til et metall den termisk bevegelsen til elektronene. Den gir opphav til en [[indre energi]] ''U'' som varierer med temperaturen ''T''. Når den ikke er konstant i metallet, vil den utjevnes ved [[varmeledning]] som tilsvarer at en del av denne energien strømmer til et område med lavere temperatur.

Betrakter man et punkt i metallet, vil denne strømmen av energi i ''x''-retning være gitt ved {{nowrap|''&Delta;U'' {{=}}(&part;''U''&thinsp;/&part;''x'')''&Delta;x''}} hvor avstanden mellom to kollisjoner i denne retningen er ''&Delta;x'' = ''v<sub>x</sub>&tau;'' da den er bestemt av ''x''-komponenten av hastigheten '''v'''. Denne lille energiforskjellen beveger seg med samme hastighet slik at energien som transporteres i denne retningen er ''&Delta;U&sdot;v<sub>x</sub>''.  Det tilsvarer en varmestrøm med ''x''-komponent

: <math> J_x =  - v_x^2 \tau{\partial U\over\partial x} </math>

der minustegnet skyldes at den er rettet mot det stedet hvor temperaturen er lavere. Det kommer tydeligere frem ved å uttrykke den indre energien ved metallets [[varmekapasitet]] ''C<sub>V</sub>'' = (&part;''U''&thinsp;/&part;''T'')<sub>''V''</sub>&thinsp; slik at &part;''U''&thinsp;/&part;''x'' = ''C<sub>V</sub>''&thinsp;(&part;''T''&thinsp;/&part;''x''). Varmestrømmen kan derfor generelt skrives som '''J''' = - ''&kappa;''&thinsp;'''&nabla;'''''T'' hvor [[Varmeledning#Fouriers lov|varmeledningskoeffisienten]] er 

: <math> \kappa = {1\over 3}v^2 \tau\, C_V </math>

Her er benyttet at ''v<sub>x</sub>''<sup>2</sup> =  (1/3)''v''<sup>2</sup> da elektronene kan bevege seg likt i alle retninger slik at ''v<sub>x</sub>''<sup>2</sup> = ''v<sub>y</sub>''<sup>2</sup> = ''v<sub>z</sub>''<sup>2</sup>. Resultatet kan også uttrykkes ved {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''v&tau;''}} som er den midlere fri veilengde for elektronene i metallet.<ref name = Reif> F. Reif, ''Fundamentals of Statistical and Thermal Physics'', McGraw-Hill, New York (1965).</ref>

Den opprinnelige antagelsen i Drude-modellen var at elektronene i metallet kan beskrives som en klassisk, [[ideell gass]]. Da villle den ha gitt et bidrag ''C<sub>V</sub>'' = (3/2)''k<sub>B</sub>&thinsp;n'' til varmekapasiteten, men det kunne ikke eksperimentelt påvises. Når kvantemekanikk benyttes i stedet og elektronene utgjør en [[Fermi-gass]], finner man at dette bidraget i virkeligheten skal være mye mindre. Samtidig viser det seg da at hastigheten til elektronene er mye høyere enn hva den klassiske beskrivelsen gir slik at disse to effektene delvis opphever hverandre.

===Wiedemann-Franz' lov===

Varmeledningskoeffisienten ''&kappa;'' og den elektriske ledningsevnen ''&sigma;'' inngår i [[Wiedemann-Franz' lov]]. Tar man forholdet mellom disse to størrelsene slik de følger fra Drude-modellen, finner man

: <math> {\kappa\over\sigma} =  {3\over 2} \left({k_B\over e}\right)^2 T </math>

når man benytter både den klassiske verdien ''v''<sup>2</sup> = (3''k<sub>B</sub>T''/''m'')&thinsp; for den gjennomsnittlige hastigheten til elektrone og {{nowrap|''C<sub>V</sub>'' {{=}} (3/2)''k<sub>B</sub>&thinsp;n''&thinsp;}} for deres varmekapasitet. Selv om begge disse antagelsene er feil, gir likevel den klassiske modellen et resultat som er omtrent halvparten av hva de målte verdiene gir. Dette er overraskende godt når en er klar over hvor dårlige hver enkelt av de klassiske antagelsene er. 

Den mer korrekte, kvantemekaniske beregningen gir samme form for dette forholdet, men med en numerisk faktor ''&pi;''<sup>&thinsp;2</sup>/3 istedenfor 3/2. Denne moderne beskrivelsen er derfor i god overensstemmelse med eksperiment og gir det samme resultatet for alle metaller der elektronene dominerer transport av elektrisk strøm og varme.<ref name = AM/>