Redigerer Dobbeltforhold (avsnitt)

==Projektiv geometri==

[[Projektiv geometri]] har ingen metriske egenskaper slik at begreper som lengden av et linjestykke og størrelsen til en vinkel ikke kan benyttes. På tross av dette er dobbeltforholdet av avgjørende betydning i denne geometrien.

Hvert punkt på en linje gjennom to referansepunkt ''O'' og ''Q'' kan da skrives {{nowrap|''P'' {{=}} ''&mu;O'' + ''&lambda;Q''&thinsp;}} hvor de [[reelt tall|reelle]] tallene (''&mu;,&lambda;'') er de [[Projektivt plan#Homogene koordinater|homogene koordinatene]] til punktet. Det betyr at (''&mu;,&lambda;'') og (''k&mu;,k&lambda;'') representerer det samme punktet for alle verdier av ''k''. Forutsatt at ''P'' ikke er et av referansepunktene, kan man da skrive {{nowrap|''P'' {{=}} ''O'' + ''xQ''&thinsp;}} hvor {{nowrap|''x'' {{=}} ''&lambda;''/''&mu;''}} nå er en entydig koordinat.

For to andre punkt ''P''<sub>1</sub> og ''P''<sub>2</sub>  på samme linje er nå forholdet mellom linjestykkene ''PP''<sub>1</sub> og ''PP''<sub>2</sub> definert som (''x''<sub>1</sub>  - ''x'')/(''x''<sub>2</sub>  - ''x''). Dobbeltforholdet for fire punkt ''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub>  og ''P''<sub>4</sub>  på denne projektive linjen '''RP'''<sup>1</sup> er dermed

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)\over (x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}  </math>

og har samme form som i [[affin geometri]]. På denne formen forblir forholdet uforandret under en projektiv transformasjon som her tilsvarer å benytte andre referansepunkt ''O'&thinsp;'' og ''P'&thinsp;'' på samme linje.<ref name = Faulkner/>

===Koordinattransformasjoner===

En forandring av referansepunktene tilsvarer en ''passiv'' koordinattransformasjon. Det er det motsatte av en ''aktiv'' transformasjon der de homogene koordinatene (''&mu;,&lambda;'') til punktet ''P'' under betraktning forandres. På samme måte som i det todimensjonale, projektive planet kan en slik [[Projektivt plan#Projektive transformasjoner|projektiv transformasjon]] for '''RP'''<sup>1</sup> skrives som

: <math> \begin{pmatrix} \lambda' \\ \mu' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \end{pmatrix} </math>

hvor ''A'' er en reell, 2&times;2 [[matrise]] på formen

: <math> A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} </math>

Transformasjonen er ikke-triviell når [[determinant]]en det&thinsp;''A'' = ''ad - bc'' &ne; 0 som betyr at matrisen også kan inverteres.<ref name = Stillwell/>

For to punkt ''P''<sub>1</sub> og  ''P''<sub>2</sub> kan deres homogene koordinater samles i en ny, 2&times;2 matrise ''M'' som transformerer til ''M'&thinsp;'' = ''AM'' eller

: <math> \begin{pmatrix} \lambda'_1 & \lambda'_2 \\ \mu'_1 & \mu'_2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ \mu_1 & \mu_2 \end{pmatrix}</math>

I projektiv geometri kan man tilordne linjestykket mellom disse to punktene en størrelse ''P''<sub>1</sub>''P''<sub>2</sub> = det&thinsp;''M''. Ved å skrive ut denne determinanten, har man

: <math> P_1P_2 = \det \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ \mu_1 & \mu_2 \end{pmatrix} = \lambda_1\mu_2 - \lambda_2\mu_1 </math>

Under en koordinattransformasjon vil det&thinsp;''M'&thinsp;'' = det&thinsp;''A''&sdot;det&thinsp;''M'' slik at dobbeltforholdet

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {P_1P_3\over P_2P_3} \cdot {P_2P_4\over P_1P_4} </math>

forblir det samme da den felles faktor med det&thinsp;''A'' kansellerer mellom teller og nevner.

For alle endelige punkt kan man sette ''&mu;'' = 1 slik at den ikke-homomogene koordinaten {{nowrap|''x'' {{=}} ''&lambda;''/''&mu;''}} = ''&lambda;''. Uttrykket for dobbeltforholdet går dermed over i det forrige som ble funnet i projektiv geometri. Under den samme transformasjonen tar denne koordinaten en ny verdi som er gitt ved den spesielle, [[rasjonal funksjon|rasjonale funksjonen]]

: <math> x' = {ax +b \over cx + d} </math>

Ved direkte utregning kan man vise at dobbeltforholdet forblir uforandret under slike transformasjoner.<ref name="Cederberg">J. N. Cederberg, ''A Course in Modern Geometries'', Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-98972-2.</ref>

===Komplekse koordinater===

Punkter på en linje kan generelt ta andre verdier enn [[reelt tall|reelle]] tall. Spesielt vanlig er det i [[algebraisk geometri]] hvor [[komplekst tall|komplekse tall]] har en helt avgjørende rolle. Hvert punkt på den komplekse, projektive linjen '''CP'''<sup>1</sup> kan dermed angis ved en kompleks, ikke-homogen koordinat ''z''. En projektive transformasjon er da gitt ved den rasjonale funksjonen

: <math> z' = {az + b \over cz + d} </math>

hvor de komplekse parametrene ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' må oppfylle ''ac - bd'' &ne; 0 slik at transformasjonen er invertibel. Dette kalles nå en [[Möbius-transformasjon]] og har stor betydning i [[kompleks analyse]].

Hvert punkt ''z'' = ''x'' + ''iy'' på den projective linjen '''CP'''<sup>1</sup> tilsvarer et punkt med reelle koordinater (''x,y'') i det [[komplekst tall|komplekse planet]]. Det geometriske innholdet som karakteriserer  Möbius-transformasjon, er at den transformerer linjer og sirkler i dette planet over i hverandre.<ref name="Pedoe">D. Pedoe, ''A Course of Geometry for Colleges and Universities'', Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.</ref>

For fire punkt ''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub>  og ''P''<sub>4</sub>  i det komplekse planet kan man nå definere dobbeltforholdet

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {(z_3 - z_1)(z_4 - z_2)\over (z_3 - z_2)(z_4 - z_1)}  </math>

som i alminnelighet vil være et komplekst tall. Det forblir uforandret under en Möbius-transformasjon på samme måte som i det reelle tilfellet. Men i det spesielle tilfellet at de fire punktene ligger på en linje, vil det være reelt. Etter transformasjonen vil de bli liggende på en sirkel, men med samme, reelle verdi for dobbeltforholdet. Dette ble først innsett av [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] og som er en av grunnene til at hans navn er knyttet til denne transformasjonen.<ref name="Coolidge">J.L. Coolidge,  ''A History of Geometrical Methods'', Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-49524-8.</ref>

Denne egenskapen ved det komplekse dobbeltforholdet kan vises direkte ved å plassere origo i senteret til sirkelen hvor punktene ligger. Hver av koordinatene kan da skrives som {{nowrap|''z'' {{=}} ''e''<sup>''i&phi;''</sup>}} da sirkelens [[radius]] vil kansellere ut. Dermed blir

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {(e^{i\phi_3} - e^{i\phi_1})(e^{i\phi_4} - e^{i\phi_2})\over (e^{i\phi_3} - e^{i\phi_2})(e^{i\phi_4} - e^{i\phi_1})} = {\sin{\phi_3 - \phi_1\over 2}\sin{\phi_4 - \phi_2\over  2}\over \sin{\phi_3 - \phi_2\over 2} \sin{\phi_4 - \phi_1\over 2}} </math>

Her er (''&phi;''<sub>3</sub> -  ''&phi;''<sub>1</sub>)/2 [[periferivinkel]]en mellom punktene  ''P''<sub>1</sub> og ''P''<sub>3</sub> og tilsvarende for de andre differansene. Dermed er dette resultatet i overensstemmelse med hva som ble funnet for fire sykliske punkt i euklidsk geometri.