Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

==Einsteins relativitetsprinsipp==
Problemene rundt eteren og utbredelse av lys hadde opptatt mange fysikere før Einstein kom med sin teori. De viktigste bidragene kom fra den nederlandske fysiker [[Hendrik Antoon Lorentz|Hendrik Lorentz]] og den franske matematiker og fysiker [[Henri Poincaré]]. Lorentz hadde vist at [[Maxwells ligninger]] var invariante under en mer komplisert koordinattransformasjon enn den som kommer fra Galileis relativitetsprinsipp. Dette matematiske resultatet kalles for [[Lorentz-transformasjonen]]. Poincaré hadde kommet frem til tilsvarende resultater. Han stilte også spørsmål om hvordan begrepet tid defineres og benyttes i fysikken. 

Disse ideene lå tett opp til hva Einstein nesten samtidig la frem i [[1905]]. Men Einstein ville ha en enda større forandring av den klassiske fysikken og baserte sin nye relativitetsteori på disse to postulatene:

# '''Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystem.'''
# '''Lyshastigheten er den samme i alle inertialsystem og er uavhengig av observatørens bevegelse.'''

Her er det første postulatet en utvidelse av Galileis relativitetsprinsipp til å gjelde ikke bare for de mekaniske lovene, men også for de elektromagnetiske. Og skulle nye naturlover i fremtiden dukke opp, må de også oppfylle dette prinsippet. Det andre postulatet dreier seg om lysets hastighet i vakuum og betyr at man ikke lenger har en eter å ta hensyn til. Hvis [[elektromagnetisme|elektromagnetiske]] fenomen er styrt av [[Maxwells ligninger]], vil dette postulatet følge fra det første.

Det andre postulatet er i direkte motstrid med Galileis lov for addisjon av hastigheter. Spørsmålet blir da hvordan de mekaniske lovene kan passe inn i den nye teorien. Einstein viste at svaret ligger i hvordan man gjør logisk entydige observasjoner av hendelser som finner sted i tid og rom.

===Synkronisering av klokker===

Avstander og romlige koordinater i et inertialsystem måles på vanlig vis med en meterstokk eller målebånd  som legges ut i ro mellom forskjellige punkt eller hendelser. At de må ligge i ro, ble understreket av Einstein. Hver observatør i dette systemet er utstyrt med en meterstokk og en klokke for å måle hva som skjer i nærheten. Man kan anta at i hvert punkt hvor det skjer et eller annet, vil det være en observatør til stede.

Måling av tid gjøres med identiske ur som plasseres i hvert punkt i inertialsystemet hvor en observatør er lokalisert. Men før disse klokkene kan benyttes, må de synkroniseres med tanke på at lyset beveger seg med endelig hastighet ''c'' mellom dem. Igjen kan man ikke bruke en bevegelig mesterklokke som blir brakt omkring til hver observatør for avlesning slik at han kan stille sin egen klokke etter den. I stedet kan man tenke seg at mesterklokken ligger i ro i et punkt hvor den ved tiden ''t = 0'' sender ut et lyssignal med hastighet ''c''. Når en observatør i avstand ''L'' mottar lyssignalet, starter han klokken sin med ''t = L/c''. Når en vilkårlig observatør etter denne synkroniseringen betrakter andre observatører med sine klokker, vil han ikke se at disse klokkene viser samme tid. Men hvis han korrigerer for at de befinner seg i forskjellig avstand, kommer han frem til at de alle går i takt og indikerer samme tid, hver på sin måte. To klokker er synkroniserte hvis en observatør midt i mellom dem ser at de to klokkene viser samme tid.<ref name = Resnick/>

===Lorentz-transformasjonen===

Hvis man igjen tenker seg situasjonen med toget som går med konstant hastighet ''v'' langs ''x''-aksen, kan man nå tenke seg den situasjon at ved tiden ''t = 0'' slår stasjonsmesteren på et utelys.  Han ser at det beveger seg likt utover i alle retninger med hastigheten ''c''. Dette er akkurat tidspunktet da toget passerer stasjonen. Ved et senere tidspunkt ''t''  beskriver derfor lysfronten en kuleflate med radius ''ct''. Dette beskrives ved ligningen

: <math> x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2 </math>

Mannen på toget ser at lyset på stasjonen blir slått på ved tiden ''t'&thinsp;'' = 0. Ifølge Einsteins to postulater vil han også se at lysfronten danner en kuleflate som beveger seg utover med hastigheten ''c''. Denne beskriver han ved ligningen

: <math> x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2t'^2 </math>

uttrykt i sine koordinater ''(t',x',y',z')''. De to observatørene befinner seg i hvert sitt inertialsystem og beskriver derfor hendelsen på samme måte.

Ut fra symmetry kan man nå lett overbevise seg om at de to koordinatene vinkelrett på bevegelsesretningen er de samme i de to systemene, det vil si ''y' = y'' og ''z' = z''. Ligningene for lysfronten kan dermed kombineres til ''x<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>t<sup>2</sup> = x'<sup>&thinsp;2</sup> - c<sup>2</sup>t'<sup>&thinsp;2</sup>''. Dette er det nye kravet som må oppfylles av koordinatene som de to observatørene benytter. Er den nye transformasjonen som forbinder dem også lineær, finner man at den må være<ref name = TaylorWheeler> E. F. Taylor and J. A. Wheeler, ''Spacetime Physics'', W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).</ref>

: <math> x = {x' + vt'\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \; , \;\;\; t = {t' + vx'/c^2\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} </math>

Den omvendte transformasjonen, fra ''(t,x)'' til ''(t',x')'', finnes ved å la ''v &rarr; - v''.  Dette er [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-transformasjonen]] som erstatter transformasjonen til Galilei. Men man ser at for lave hastigheter ''v << c'', stemmer de overens. [[Hendrik Lorentz]] hadde funnet transformasjonen før Einstein. Men han benyttet den kun som en transformasjon fra det spesielle systemet hvor eteren ligger i ro, til et system som beveger seg i forhold til eteren. Einstein viste at transformasjonen forbinder alle inertialsystem.

===Minkowski-rom===
[[Fil:MinkowskiDiagram.svg|thumb|250px|right|En hendelse ''E'' med koordinatene ''(ct,x)'' får etter transformasjonen de nye koordinatene  ''(ct',x')'' i et Minkowski-diagram.]]

Et par år etter at Einstein presenterte sin teori, fant den tyske matematiker [[Hermann Minkowski]] at Lorentz-transformasjonen kunne gis et mer geometrisk innhold. Han viste at man kunne betrakte både tiden ''t'' og den romlige koordinat ''x'' for en hendelse som koordinatene til et punkt i et firedimensjonalt [[romtid|tidrom]]. Dette er ikke noe rom med vanlig geometri, men kalles i stedet et «Minkowski-rom» med sin egen [[geometri]]. Denne formuleringen kalles [[kovariant relativitetsteori]] og er den som i dag brukes i moderne fysikk.

I et todimensjonalt, [[euklidisk geometri|euklidisk]] rom kan et punkt ''P''  bli gitt kartesiske koordinater ''(x,y)''. Den kvadrerte avstanden fra origo ''O''  er dermed  ''x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>''. Denne lengden er invariant under en rotasjon av koordinatsystemet. På samme måte kan en hendelse ''E'' i Minkowski-rommet bli gitt koordinater ''(ct,x)'' slik at ''(ct)<sup>2</sup> - x<sup>2</sup>'' er invariant under en Lorentz-transformasjon langs ''x''-aksen. I det transformerte systemet har den samme hendelsen koordinatene ''(ct',x')'' som kan leses av på de nye koordinataksene. Dette er vist i figuren til høyre.

De nye koordinataksene kan finnes fra den inverse Lorentz-transformasjonen. Langs den romlige  ''x' ''-aksen er ''t' = 0'' slik at ligningen for den er ''ct = (v/c)x''. På samme måte langs den nye ''ct' ''-aksen er ''x' = 0'' slik at den har ligningen ''x = (v/c)ct'' . En partikkel som beveger seg med hastighet ''v'', vil beskrive denne linjen. Den ligger i ro i det transformerte systemet med ''x' = 0''.  Et foton beveger seg med lyshastigheten og vil derfor beskrive en linje som danner 45&deg; med aksene i Minkowski-diagrammet. I det transformerte aksekorset er ikke enhetene langs de to nye aksene de samme som langs de opprinnelige aksene.<ref name =TaylorWheeler/>

===Addisjon av hastigheter===
Hvis et barn på toget løper med hastighet ''u'&thinsp;'', vil det etter en tid ''t' '' være kommet til ''x' = u'&thinsp;t'.'' Fra stasjonsplattformen vil man si at barnet løper med en hastighet ''u'' og kommer frem til ''x = ut'' etter tiden ''t''. Disse to observasjonene begynner begge ved tiden ''t = t' = 0'' da toget passerer stasjonen. I den siste ligningen setter vi inn for ''x'' og ''t'' fra Lorentz-transformasjonen. Det gir ''x' + vt' = u(t' + vx'/c<sup>2</sup>''). Ved her å  benytte at  ''x' = u'&thinsp;t','' finner man at

: <math> u = {u' +v\over 1 + u'v/c^2} </math>

Dette resultatet gir loven for [[addisjon av hastigheter]] i den spesielle relativitetsteorien. Den stemmer med Galilei-transformasjonen i når ''v << c''. Hvis barnet på toget kunne bevege seg med lysets hastighet, det vil si at ''u' = c'', ser man at hastigheten i det stasjonære systemet ville bli ''u = c''. Man kan ikke overstige lyshastigheten. Dette er ikke noe annet enn et uttrykk for at lyshastigheten er den samme i alle inertialsystem.