Redigerer Deformasjon (avsnitt)

==Matematisk definisjon==
Deformasjonen defineres ved hjelp av et referansepunkt, en startposisjon. Dette kan gis i et tredimensjonalt, [[euklidsk rom|kartesisk koordinatsystem]]. Over tid har legemet en gitt ''konfigurasjon'' i forhold til referansepunktet, og alle endringer er i henhold til dette.<ref>[[#Hol|Holzapfel: ''Nonlinear Solid Mechanics'', s. 57]]</ref>

For hvert punkt i legemet er denne konfigurasjonen unikt definert ved en ''posisjonsvektor'' '''x''',
:<math>\bf{x} = \begin{bmatrix} x_1(t) && x_2(t) && x_3(t) \end{bmatrix}</math>
som gir posisjon i x-, y- og z-retning og varierer over tid. For ethvert tidspunkt ''t'' er '''x''' gitt i forhold til en startposisjon '''X''',
:<math>\bf{X} = \begin{bmatrix} X_1 && X_2 && X_3 \end{bmatrix}</math>.
For et gitt punkt vil '''x''' definere en [[kurve]] (eller en [[trajektorie]]) i rommet. For et gitt tidspunkt vil posisjonsvektoren til samtlige punkter fullstendig definere legemets konfigurasjon.<ref>[[#Hol|Holzapfel: ''Nonlinear Solid Mechanics'', s. 58–59]]</ref>

''Deformasjonsgradienten'' i et materiale er definert ved en tensor som fullstendig beskriver endringen i ethvert punkt ved et gitt tidspunkt, i forhold til referansevektoren '''X'''. Hver komponent er, for en gitt ''t'', definert som<ref name="hol71">[[#Hol|Holzapfel: ''Nonlinear Solid Mechanics'', s. 71]]</ref>
:<math>F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}</math>
hvilket tilsammen gir tensoren
:<math>\bf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial X_1} && \frac{\partial x_1}{\partial X_2} && \frac{\partial x_1}{\partial X_3} \\ \frac{\partial x_2}{\partial X_1} && \frac{\partial x_2}{\partial X_2} && \frac{\partial x_2}{\partial X_3} \\ \frac{\partial x_3}{\partial X_1} && \frac{\partial x_3}{\partial X_2} && \frac{\partial x_3}{\partial X_3} \end{bmatrix}</math>
Deformasjonsgradienten er definert for ethvert tidspunkt ''t'' og beskriver bevegelsen rundt et punkt på dette tidspunktet.<ref name="hol71" />

Posisjonen '''u''' til ethvert punkt er gitt ved
:<math>\bf{u} = \bf{x} - \bf{X}</math>
og deformasjonsgradienten kan derfor også uttrykkes som<ref>{{kilde www
| url=http://www.continuummechanics.org/deformationgradient.html
| tittel=Deformation Gradient
| besøksdato=2. januar 2019
| forfatter=Bob McGinty}}</ref>
:<math>\bf{F} = \bf{I} + \frac{\partial \bf{u}}{\partial \bf{X}} = \begin{bmatrix} 1 + u_{11} && u_{12} && u_{13} \\ u_{21} && 1 + u_{22} && u_{23} \\ u_{31} && u_{32} && 1 + u_{33} \end{bmatrix}</math>
der '''I''' er [[identitetsmatrise]]n.

Dette kan man også snu og definere som
:<math>\text{Grad} \bf{U} = \bf{F} - \bf{I}</math>,
som er kalt ''deformasjonsgradienttensoren''.<ref>[[#Hol|Holzapfel: ''Nonlinear Solid Mechanics'', s. 73]]</ref>