Redigerer De Broglies bølgelengde (avsnitt)

==Bølgeligninger==

Idéene til de Broglie vakte stor interesse.  Ved en forelesning i [[Zürich]] nevnte den nederlandske fysiker [[Peter Debye|Debye]] at når det finnes en bølgelengde, må det også finnes en [[bølgeligning]].  [[Erwin Schrödinger]] hørte dette og gikk i gang med å finne en slik ligning.<ref name = Bloch>F. Bloch, ''Heisenberg and the early days of quantum mechanics'', Physics Today '''29'''(12), 23 -  27 (1976).</ref> Han tok utgangspunkt i  [[William Rowan Hamilton|Hamiltons]] formulering av [[Hamilton-mekanikk|klassisk mekanikk]] som han mente kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk.

===Schrödinger-ligningen===

[[Bølgeligning]]en for en [[bølge]] med [[amplitude]] &Psi;('''x''',''t'') og fasehastighet ''u'' er

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over u^2}\! \left({\partial\Psi\over\partial t}\right)^2 = 0   </math>

En materiebølge for en partikkel med energi ''E'' og impuls ''p'' har en frekvens {{nowrap|''&omega; {{=}} E/ħ''}}.  Bølgeamplituden vil derfor variere med tiden som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \psi(\mathbf{x}) e^{-i\omega t}  </math>

når man skriver den på [[komplekst tall|kompleks]] form hvor ''i'' = &radic;(-1) er den [[imaginær enhet]] og ''&psi;''('''x''') er den «stasjonære bølgefunksjonen». Da fasehastigheten er {{nowrap|''u {{=}} E''/''p''}}, går bølgeligningen over i  [[differensialligning]]en {{nowrap|&nabla;<sup>&thinsp;2</sup>''&psi;'' + (''p/ħ'')<sup>2</sup>''&psi;'' {{=}} 0}}. Den har samme form som [[Helmholtz-ligning]]en.

For en ikke-relativistisk partikkel som beveger seg i et statisk potensial ''V''('''x'''), er impulsen gitt ved ''p''<sup>2</sup> = 2''m''(''E - V'') slik at ligningen kan omskrives på formen

: <math> {-\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2\psi + V(\mathbf{x})\psi = E\psi </math>

Dette er [[Schrödingerligningen|bølgeligningen]] til Schrödinger han lanserte i [[1926]]. Kort tid etterpå viste han at den ga de riktige energiene for energinivåene i [[hydrogenatom]]et.<ref name = Hylleraas>E. Hylleraas, ''Matematisk og Teoretisk Fysikk, Vol. IV: Atomteori'', Grøndahl & Søns Forlag, Oslo (1952).</ref>

===Klein-Gordon-ligningen===

For en relativistisk partikkel følger impulsen fra ''p''<sup>2</sup> = (''E - V'')<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup> - ''m''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>. Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

: <math> \hbar^2\boldsymbol{\nabla}^2\psi + \Big({E - V\over c}\Big)^2\psi = m^2c^2\psi </math>

Denne ligningen hadde også Schrödinger funnet, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene i [[hydrogenatom|H-atomet]]. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene av [[spinn]]et til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen av [[Diracligningen|Dirac-ligningen]].<ref name = Pais/>

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialet ''V'' = 0. Da energien kan finnes ved å la operatoren ''iħ''&thinsp;&part;/&part;''t'' virke på den tidsavhengige bølgefunksjonen, kan den relativistiske ligningen skrives som

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over c^2}{\partial^2\Psi\over\partial t^2} = \Big({mc\over\hbar}\Big)^2\Psi </math>

Den ble etterhvert kalt for [[Klein-Gordon-ligning]]en etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengden {{nowrap|''&lambda;<sub>C</sub> {{=}} ħ/mc''}} som er den reduserte [[Comptoneffekten|Compton-bølgelengden]] for partikkelen. Ved bruk av [[Kovariant relativitetsteori|kovariant notasjon]], kan man skrive denne bølgeligningen som {{nowrap|(&part;<sup>''&mu;''</sup>&part;<sub>''&mu;''</sub> + (''mc/ħ'')<sup>2</sup>)&Psi; {{=}} 0&thinsp;}} hvor den kovariante deriverte er {{nowrap|&part;<sub>''&mu;''</sub> {{=}} &part;/&part;''x<sup>&mu;</sup>''}} =
(&part;/&part;''ct'',&thinsp;'''&nabla;'''&thinsp;). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant under [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-transformasjoner]] som alle relativistiske bølgeligninger må være.<ref name = BjorkenDrell>J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill, New York (1964). ISBN 0-07-005493-2.</ref>