Redigerer CIE-1931 fargesystem (avsnitt)

==Standardobservatører==

RGB-koordinatene kunne i prinsippet gi et standardisert fargesystem. Men da måtte man kunne arbeide med at noen av disse koordinatene ville være negative. Dette betydde også at noen av tilpasningsfunksjonene kunne anta negative verdier. For praktiske anvendelser vurderte CIE at det ville være fordelaktig hvis dette kunne unngås. 

Matematisk skyldes de negative verdiene at de fysiske basisfargene '''R''', '''G''' og '''B''' ikke utspenner en stor nok del av det abstrakte fargerommet. Derfor ble enighet i CIE om å definere nye basisfarger '''X''', '''Y''' og '''Z''' slik at hver farge kan uttrykkes ved kun positive koordinater (''X,Y, Z''). Denne nye basisen er ikke lenger gitt ved fysiske farger og må derfor betraktes å være «imaginær». Man må da tenke seg at det også finnes «standardobservatører» som kan benytte disse nye basisfargene ved fargetilpasninger på tilsvarende vis som det ble gjort med den fysiske RGB-basisen.<ref name = Sears/>

I tillegg til kravet om positive vektorkomponenter vedtok også CIE at den andre koordinaten ''Y&thinsp;'' skulle gjøres mest lik med [[luminans]]en til hver farge. Med kjennskap til luminansene til hver av basisfagene '''R''', '''G''' og '''B''', kunne denne uttrykkes ved de tilsvarende koordinatene som

: <math> L = 0.177 R + 0.813 G + 0.010 B </math>

Den er dominert av det grønne innslaget i fargen som også representerer de bølgelengder hvor det menneskelige øyet er mest følsomt.<ref name = Schanda> J. Schanda, ''Colorimetry: Understanding the CIE System'', John Wiley & Sons, New York (2007). ISBN 978-0-470-04904-4. [https://books.google.no/books?id=uZadszSGe9MC&printsec=frontcover&hl=it&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Google Book].</ref>

===Fra RGB til XYZ===

[[Fil:CIE1931 rgxy.png|thumb|320px|Alle farger har positive koordinater i (''x,y'')-systemet definert ved Maxwell-trekanten med hjørner C<sub>r</sub>, C<sub>g</sub> and C<sub>b</sub>.]]

Ut fra [[trikromatisk teori]] må de gamle basisfargene '''R''', '''G''' og '''B''' kunne uttrykkes som [[lineær]]e kombinasjoner av de nye, imaginære basisfagene '''X''', '''Y''' og '''Z'''. Det medfører at de tilsvarende vektorkomponentene også vil forandres. Sammenhengen kan beskrives som en generell transformasjon i et [[Koordinatsystem#Skjevvinklet koordinatsystem|skjevvinklet koordinatsystem]]. Den er definert ved en [[Matrise|transformasjonsmatrise]] som kan kalles <math>  {\cal Mat} </math> og som her vil ha dimensjon 3 &times; 3. 

Formelt kan nå denne sammenhengen uttrykkes ved matriseligningen

: <math> (\mathbf{R},\mathbf{G},\mathbf{B}) = (\mathbf{X},\mathbf{Y},\mathbf{Z})\cdot {\cal Mat} </math>

Med samme notasjonen kan en vilkårlig  [[Fargeblanding#Fargevektorer|fargevektor]] skrives som

: <math> \mathbf{Q} = (R, G, B)\cdot  \begin{pmatrix}\mathbf{R} \\ \mathbf{G} \\ \mathbf{B} \end{pmatrix} = (X, Y, Z)\cdot  \begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{Y} \\ \mathbf{Z} \end{pmatrix} </math>

Det betyr at koordinatene til fargen i den nye basisen er derfor gitt ved den samme matrisen,

: <math>  \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix}  =   {\cal Mat} \cdot \begin{pmatrix} R \\ G \\ B \end{pmatrix} </math>

Med de krav som var stilt til denne sammenhengen, vedtok [[Commission internationale de l’éclairage|CIE]] i 1931 at den har det numeriske innholdet

: <math>  {\cal Mat}  = \begin{pmatrix} 0.490 & 0.310 & 0.200 \\ 0.177 & 0.813 & 0.010 \\ 0.000 & 0.010 & 0.990 \end{pmatrix} </math>

Summen av elementene i hver horisontal rad er èn. Likedan gir andre rad at <math> Y =  0.177 R + 0.813 G + 0.010 B </math> som oppfyller kravet om at denne komponenten skal gi luminansen <math> L </math> til fargen.<ref name = Schanda/>

===Transformerte tilpasningsfunksjoner===

[[Fil: CIE 1931 XYZ Color Matching Functions.svg|thumb|320px|De transformerte tilpasningsfunksjonene er positive for alle bølgelengder.]]

Da RGB-koordinatene er gitt ved integral over spektralfordelingen til lyset multiplisert med de tilsvarende, fysiske fargetilpasningsfunksjonen, kan nå XYZ-koordinatene uttrykkes på samme måte, men med transformerte tilpasningsfunksjoner  <math> \bar{x}(\lambda), </math>  <math> \bar{y}(\lambda) </math> og <math> \bar{z}(\lambda). </math>  Da er

: <math> X = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{x}(\lambda) \ P(\lambda) </math>
: <math> Y = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{y}(\lambda) \ P(\lambda) </math>
: <math> Z = \int_0^\infty\!d\lambda \ \bar{z}(\lambda) \ P(\lambda) </math>

Fra matrisesammenhengen mellom <math> (X.Y,Z) </math> og <math> (R.G,B), </math> vil man derfor ha at

: <math>  \begin{pmatrix}  \bar{x}(\lambda)  \\  \bar{y}(\lambda) \\  \bar{z}(\lambda)  \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 0.490 & 0.310 & 0.200 \\ 0.177 & 0.813 & 0.010 \\ 0.000 & 0.010 & 0.990 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  \bar{r}(\lambda)  \\  \bar{g}(\lambda)  \\  \bar{b}(\lambda)  \end{pmatrix} </math>

På samme måte som arealene under kurvene for de opprinnelige tilpasningsfunksjonene er alle like, vil nå også de tilsvarende arealene for de transformerte funksjonene være like store. Det er garantert av at summen av elementene i hver horisontal rad til transformasjonsmatrisen er den samme.

Når integralet for luminansen <math> Y </math> sammenlignes med integralet for den tilsvarende [[Lysstyrke#Spektral fordeling|lysstyrken]],  ser man at den nye tilpasninqsfunksjonen  <math> \bar{y}(\lambda) </math> kan identifiseres med følsomhetsfunksjonen ''V''(''&lambda;'') når man ser bort fra en normaliseringsfaktor. Begge funksjonene har et maksimum i det grønne området rundt {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} 550 nm}} og avtar raskt for større og mindre bølgelengder.