Redigerer
Bohr-Sommerfeld-kvantisering
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Lineær rotator== En lineær rotator (eller [[rotor]]) kan tenkes sammensatt av to masser ''m''<sub>1</sub>  og ''m''<sub>2</sub>  som holdes i en fast avstand ''R '' fra hverandre. Dens posisjon i rommet kan da angis ved [[massesenter]]et pluss retningen (''θ, φ'') i [[kulekoordinater]] til aksen mellom massene. Dette systemet utgjør et klassisk [[tolegemeproblem]] som i massesenteret har den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] : <math> E = {1\over 2}mR^2\Big(\dot\theta^2 + \sin^2\!\theta\,\dot\phi^2\Big) </math> hvor ''m'' = ''m''<sub>1</sub>''m''<sub>2</sub>/(''m''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub>) er den [[Tolegemeproblem#Redusert masse|reduserte massen]] til rotatoren. I [[molekylfysikk]]en benyttes denne modellen for å beskrive toatomige molekyl som CO eller med tre atom på en rett linje som CO<sub>2</sub>. For en slik lineær massefordeling må da i alminnelighet faktoren ''mR''<sup> 2</sup>  erstattes med det tilsvarende [[treghetsmoment]]et ''I''.<ref name = Atkins> P.W. Atkins, ''Physical Chemistry'', 4th edition, Oxford University Press, Oxford (1990). ISBN 0-19-855284-X.</ref> ===Plan rotasjon=== Når rotasjonen foregår uten påvirkning av ytre [[dreiemoment]], er rotatorens [[dreieimpuls]] konstant og står [[vinkelrett]] på det planet hvor massene beveger seg i. Man kan da velge et [[polarkoordinatsystem]] med ''z''-akse langs rotasjonsaksen og en [[asimut]]al vinkel ''ψ '' i planet som angir størrelsen til rotasjonen. Uttrykket for energien forenkles dermed til : <math> E = {1\over 2}I\dot\psi^2 </math> som fremkommer fra det generelle uttrykket ved å sette ''θ'' = ''π'' /2 og ''φ'' = ''ψ''. Rotasjonsenergien har nå en [[Lagrange-mekanikk|kanonisk konjugert impuls]] <math> p_\psi = mR^2\dot\psi</math> som er rotatorens totale dreieimpuls. Da energien er uavhengig av vinkelen ''ψ'' som varierer periodisk mellom 0 og 2''π'', er dette en bevegelseskonstant som direkte angir størrelsen til rotatorens energi, : <math> E = {p_\psi^2\over 2I} </math> Ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering av rotasjonen vil nå ''p<sub>ψ</sub>''⋅2''π'' = ''nh''. Det gir de tillatte verdiene {{nowrap|''p<sub>ψ</sub>'' {{=}} ''nħ ''}} slik at de kvantiserte energinivåene til rotatoren er : <math> E_n = {\hbar^2\over 2I} n^2 </math> hvor igjen kvantetallet ''n'' = 1, 2, 3, ... . Avstanden mellom to nabonivå øker proporsjonalt med ''n''. ===Rotasjon i rommet=== Hvis rotatoren kan innta alle mulige retninger i rommet, er dens energi gitt ved [[kulekoordinater|kulekoordinatene]] (''θ, φ''). De konjugerte impulsene blir dermed <math> p_\theta = \partial E/\partial\dot\theta = I\dot\theta </math> og <math> p_\phi = \partial E/\partial\dot\phi = I\sin^2\theta\dot\phi. </math> Uttrykket for energien kan da skrives som : <math> E = {1\over 2I} \Big(p_\theta^2 + {p_\phi^2\over\sin^2\theta}\Big) </math> Denne kan nå kvantiseres ved de to Bohr-Sommerfeld-betingelsene : <math> \oint\! p_\phi d\phi = n_\phi h, \;\;\; \oint\! p_\theta d\theta = n_\theta h</math> Da energien er uavhengig av den asimutale vinkelen ''φ'', er impulskomponenten ''p<sub>φ</sub> '' konstant og har derfor de tillatte verdiene {{nowrap|''p<sub>φ</sub>'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>ħ ''}} for heltallige kvantetall ''n<sub>φ</sub>''. Den andre impulskomponenten ''p<sub>θ</sub> '' er ikke konstant, men varierer med vinkelen ''θ''. For en bestemt energi er den gitt ved : <math> p_\theta = \pm\sqrt{2EI}\sqrt{1 - p_\phi^2/2EI\sin^2\theta} </math> hvor fortegnet er positivt halvparten av den periodiske banen og negativt ellers. Argumentet i [[kvadratrot]]en må være positivt slik at den meridonale vinkelen ''θ'' må oppfylle kravet {{nowrap|sin''θ'' > ''p<sub>φ</sub>''/√(2''EI'')}}. Den varierer derfor mellom en minimumsverdi ''θ<sub>min</sub> '' og en maksimalverdi ''θ<sub>max</sub>''. Kvantebetingelsen for denne variable tar dermed formen : <math> 2\sqrt{2EI}\int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta\sqrt{1 - p_\phi^2/2EI\sin^2\theta} = 2\pi\sqrt{2EI}\Big(1 - {p_\phi\over\sqrt{2EI}}\Big) = n_\theta h </math> som gir de kvantiserte energiene : <math> E_n = {\hbar^2\over 2I} (n_\phi + n_\theta)^2 </math> Ved å sammenligne med resultatet som ble funnet når rotatoren befant seg i ''xy''-planet, må man betrakte summen ''n'' = ''n<sub>φ</sub>'' + ''n<sub>θ</sub> '' som hovedkvantetallet som karakteriserer den totale dreieimpulsen ''p<sub>ψ</sub>''. I dette mer generelle tilfellet er derfor impulsen ''p<sub>φ</sub> '' komponenten av denne på ''z''-aksen. Betrakter man den totale dreieimpulsen som en [[vektor (matematikk)|vektor]], danner den i alminnelighet en vinkel ''β '' med ''z''-aksen gitt ved : <math> \cos\alpha = {p_\phi\over p_\psi} = {n_\phi\over n_\phi + n_\theta} </math> Man kommer derfor til det overraskende resultatet at dreieimpulsen kan bare innta noen bestemte, diskrete retninger i rommet gitt ved denne [[brøk]]en. Dette ble kalt for «romkvantisering».<ref name = Sommerfeld> A. Sommerfeld, ''Atombau und Spektrallinien'', Fried. Wieweg & Sohn, Braunschweig (1919).</ref> Det var vanskelig å fatte da ''z''-aksen i denne betraktningen er ganske vilkårlig og kan velges i hvilken som helst retning. Men hvis rotatoren hadde befunnet seg i et ytre [[magnetfelt]], ville dette ha definert en spesiell akse. Som i [[Zeeman-effekt]]en ville hvert energinivå da splittes opp og angis ved kvantetallet ''n<sub>φ</sub> ''. Dette asimutale kvantetallet omtales derfor ofte som det '''magnetiske kvantetallet'''. Ved bruk av moderne [[kvantemekanikk]] finner man at energien til rotatoren øker med hovedkvantetallet som ''n''(''n'' + 1) og er derfor i overensstemmelse med det halvklassiske resultatet ''n''<sup> 2</sup>  utledet her fra Bohr-Sommerfeld-kvantisering når kvantetallet blir tilstrekkelig stort. Man finner da også en romkvantisering av retningen til den totale dreieimpulsen. Men dette skaper nå ikke noen problem fordi en tilstand av rotatoren kvantisert i en bestemt retning, kan skrives som en [[superposisjon]] av tilstander hvor den er kvantisert i en vilkårlig annen retning.<ref name = BJ/> ===Beregning av integral=== Vinkelen ''θ '' må oppfylle kravet {{nowrap|sin''θ'' > sin''β ''}} hvor vinkelen ''β '' er definert ved : <math> \sqrt{2EI}\sin\beta = {p_\phi\over\sin\theta} </math> Det betyr at minimumsverdien ''θ<sub>min</sub>'' = ''β'', mens maksimalverdien ''θ<sub>max</sub>'' = ''π'' - ''β''. Integralet som inngår i kvantiseringen av ''p<sub>θ</sub>'', kan skrives om slik at det blir : <math> J = \int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta(1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta)^{1/2} = \int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta {1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta\over (1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta)^{1/2}} </math> På denne formen består det av to deler : <math> J_1 = \int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta {1\over (1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta)^{1/2}} </math> : <math> J_2 = \int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta {\sin^2\beta/\sin^2\theta\over (1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta)^{1/2}} </math> slik at hele integralet ''J'' = ''J''<sub>1</sub> - ''J''<sub>2</sub>. Disse to kan nå beregnes ved et skifte av integrasjonsvariabel. I det første integralet definerer man en ny vinkel ''u'' ved sammenhengen {{nowrap|sin''u'' {{=}} cos''θ''/cos''β''}} som gir : <math> du = - {d\theta\over (1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta)^{1/2}} </math> Da integrasjonsgrensene ''θ<sub>min</sub> '' nå tilsvarer ''u'' = ''π'' /2 og ''θ<sub>max</sub> '' tilsvarer ''u'' = - ''π'' /2, blir : <math> J_1 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!du = \pi </math> I det andre integralet kan man på samme måte innføre en annen variabel ''v'' definert ved sin''v'' = tan''β'' cot''θ''. Den har differensialet : <math> dv = - {\sin\beta\, d\theta\over \sin^2\theta (1 - \sin^2\beta/\sin^2\theta)^{1/2}} </math> og de samme integrasjonsgrensene som ''u''. Dermed finner man at : <math> J_2 = \sin\beta\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!dv = \pi\sin\beta </math> slik at ''J'' = ''π'' (1 - sin''β'' ). Det kan nå benyttes til å finne de kvantiserte energinivåene til rotatoren.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon